中学数学基础
集合、函数与命题
1. 集合与函数
1.1. 常用集合
对与数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上“*”来表示排除0 的集，标上“+”来表示排除0 与负数的集。常用集合符号如下：
- R，表示数轴上所有实数的集合，R*表示仅非零实数集，R+表示全体正实数集；
- ∅空集记作，且规定空集是任何集合A的子集
- N = {0,1,2,3,…,n,…}，非负整数集(自然数)集合；N*或N+ = {1,2,3,..,n,…}，正整数基；
- Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}，整数集；
- Q = {p/q|p∈Z,q∈N+且p与q互质}，有理数集；
1.2. 集合关系
设A、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B的子集，记作A⊂B（A包含于B）或B包含A。如果集合A 与集合B 互为子集，即 A⊂B（A包含于B）且B包含于A ，则称A=B。若A⊂B且A≠B，则称A是B的 真 子集，记作A⫋B,例N⫋Z⫋Q⫋R。A∪B={x|x∈A 或x∈B}，并集；A∩B={x|x∈A 且x∈B}，交集；A\B={x|x∈ A 且x∉B}。
设A 、B 、C 为任意三个集合，则有下列法则成立。交换律A∪B = B∪A；结 合律(A∪B)∪C = A∪(B∪C)；分配律(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)；补集CuA={x|x∈U，且x∉A}，A∪(CuA)=U，(CuA)∪(CuB)= Cu(A∩B)；对偶律(A∪ B)C = AC∩BC。对偶律的第一个等式，两个集合的并集的**余集**等千它们的余集的交集＂证明有：x∈(AUB)c ⇒ x∉A∪B（或） ⇒ x∈Ac∩Bc（且），所以(A∪B)c ⊂ Ac∩Bc。
1.3. 函数（映射）区间与邻域
设a和b都是实数，且a 设δ是任一正数，则开区间(a-δ,a+δ) 就是点a 的一个邻域，为点a 的δ邻域，记作U(a,δ)，即U(a,δ)={x|a-δ 复合函数。复合映射fog:X→Z中，g:Dg→Y1，f:Y2→Z。其中Y1包含于Y2，则由映射g和f可以得到从X到Z的对应法则，它的x∈X，对应f[g(x)] ∈Z。复合函数y = f[g(x)]，x∈Dg，称为由函数u = g(x)与y = f(u)构成的复合函数，定义域为Dg，变量u为中间变量。 反函数。逆映射f-1对应的f-1(y) = x。设f：[-π/2,π/2]→[-1,1]，对每个x∈[-π/2,π/2]，f(x)=sin x。此f是一个映射，其定义域Df=[-π/2,π/2]，值域Rf=[-1,1]。f-1，即f的逆映射g：Df-1 = Rf → X，g(x)=f-1(x)=arsin x，其定义域Df-1∈[-1,1]。反函数f-1(x)的定义域和值域分别是f(x)的值域和定义域。在图像上，该互为反函数的y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称。 常数函数：y=2，D=（-∞，+∞) ，W={2}。 多值函数：以“X2+Y2= r2且y≥0” 作为对应法则，就可得到一个单值分支 y= y1(x) = √(r2-x2)；若附加 “y≤0”的条件，就可得到一个单值分支 y= y2(x) = -√(r2-x2)。 绝对值函数： 符号函数：D=（-∞，+∞) ，Rf={-1,0,1}，x = sgn x *|x|。 取整函数：y = [x]，对于图像为阶梯函数。 狄利克雷函数： 幂函数：y = xu(u∈R)； 指数函数：y = ax(a>0且a≠1); 对数函数：y = logax(a>0且a≠1), y = ln x； 三角函数：y = sin x(x∈R), y = cos x, y = tan x(x∈R\ {x|x ≠ Π/2 + kΠ, k∈Z})；反三角函数：y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x等； 注：等差数列的公差d，Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ，Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ；等比数列的公比q。 计算遵循向量可平移性和首尾相接，向量加法符合+=+=和三角形法则，向量减法符合-=+(-)和平行四边形法则，且负向量-即可将原向量反向。 两向量同向，内积为两模乘积。两向量反向，内积为负两模乘积。 向量非零向量，则.=^2=||2; .=|.|≤||.||。 向量数乘λ结合在内积中无限制，内积服从交换律、分配律但不服从结合律（角度不同）。 两向量相减或相加，各系x与y分别相减或之和得新坐标。 两向量内积，各系x与y分别相乘并相加得到新数；向量模等于根号下x、y各平方和。 向量垂直⇔内积为零⇔各系乘积之和=0，向量共线⇔数乘λ关系⇔x1y2-x2y1=0。 Anm = n!/ (n-m)! Anm (n-m) = n. An-1m Anm = n. An-1m-1 An0 = 1 (n+1). Ann = An+1n+1 (或n. Ann = An+1n+1 - Ann ) Anm = Cnm .Amm Cnm = Anm / Amm = n!/ (m!(n-m)!) Cnm = Cnm-1 （用于简化计算） Cn0 = 1 Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n Cn0 + Cn2 + Cn4 + ... = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ... = 2n-1 Cmm + Cm+1m + Cm+2m + ... + Cm+nm = Cm+n+1m+1 (n+1)/(k+1)Cnk = Cn+1k+1 (由小推大) 注：二项式定理(a+b)n 证明2n 。 (a+b)3= a3+3a2b+3ab2 +b3 = C30 a3b0 +C31 a2b+C32 ab2 +C33 a0 b3 ; 得证，2n = (1+1)n = (Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn )1.1.4. 函数范例
1.4.1. 常用函数
1.4.2. 基本初等函数
余切函数: y = cot x, x∈R\ {x|x ≠ kΠ, k∈Z};
反正弦函数：y = arcsin x,D=(-1，+1),R=(-Π/2,Π/2);
反余弦函数：y = arccos x, D=(-1，+1),R=(0,Π);
反正切函数：y = arctan x, D=(-∞，+∞),R=(-Π/2,Π/2);
反余切函数：
三角函数乘积变换和差公式：
两同相乘得两cos，二分sin对减来cos对加，cos减前要加负。两不同对两sin，二分sincos加来cossin减。
sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2；
cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2；
sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2；
cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2.
三角函数和差变换乘积公式：
两s和差两不同，加对sincos来减对cossin，2倍各有二分A+-B。
两c和来两c乘，两c差来负两sin。
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]；
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]；
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]；
cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2];
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB).
三角函数的转化公式:
平移存在左加右减，上加下减
sin(-α)=-sinα;cos(-α)=cos(α);
sin(π/2-α)=cosα;cos(π/2-α)=sinα;
sin(π/2+α)=cosα;cos(π/2+α)=-sinα;
tan(α)=sinsinα/cosα;
tan(π/2+α)=-cotα;tan(π/2-α)=cotα;
tan(π+α)=tanα;tan(π-α)=-tanα.
二倍角公式：
正弦有sin(2A)=2sin(A)cos(A)
余弦有cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A); cos(2A)=2cos^2(A)-1; cos(2A)=1-2sin^2(A)
弦注xian
1.5. 函数性质
函数运算：f±g: (f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D; f·g: (f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈D; f/g: (f/g)(x)=f(x)/g(x),x∈D \ {x|g(x)=0,x∈D}.
2. 命题
命题一般用p、q表示，简单命题由两条件组成，条件用m、n表示。多个命题用逻辑联结词（呈V型区别于集合符号）连接，联结词由且（p∧q）或（p∨q）非（┐p）。
2.1. 四种命题的相互关系
命题的真假性。逆否命题的真假性相同，其它的没有关系。若m可以推出 n，“若m则n”为真命题，该真命题中m是n的充分条件，n是m的必要条件，记为“m⇒n”。不能推出则为假命题，记为“m⇏n”。m与n能互推，m等价于n，记为“m⇔n”。
2.2. 真假命题
只有p、q都为真命题时，p∧q才是真命题；当p或q任一个为真命题时，p∨q才是真命题；若┐m为假命题，则m为真命题。
命题中下一级多个元素中存在量词，包括全称量词（∀，所有的，任意一个）和存在量词（∃，存在一个，至少有一个）。当全称量词命题或存在量词命题否定时，它的量词也变化成存在与全称量词。
3. 习题
不等式与数列
1. 不等式
1.1. 常用不等式
2. 数列
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,...,an,an+1,..., (按一定次序排列的一列数), 简记为{an}或{xn}。xn指数列的第n项。
等差数列{xn}通项公式：xn=x1+(n-1)d, 前n项和Sn=n(x1+xn)/2(或Sn=nx1+n(n-1)d/2)。性质1：p+q=r+s，则xp+xq=xr+xs，且等比中项公式xp+xp1=2xs；性质2：数列{an}的连续取出或每隔k项取出组成的子数列仍为等差数列；性质3：对任意的k∈N*，有有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等差数列。
等比数列{xn}通项公式：xn=x1.qn-1, q≠0, 前n项和中Sn=nx1，q=1; Sn=nx1(1-qn)/(1-q)(或Sn=(x1+xn.q)/(1-q))。性质1：p+q=r+s，则xp.xq=xr.xs，且等比中项公式xp.xp1=xs2；性质2：数列{an}的连续取出或每隔k项取出组成的子数列仍为等比数列；性质3：对任意的k∈N*，有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等比数列。
平面解析几何
1. 向量
在数学中，向量有方向和大小，记为$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{A B}$$。其向量对应的模记为|$$\overrightarrow{a}$$|, |$$\`overrightarrow`{A B}$$|。$$\overrightarrow{i}$$为单位向量，$$\overrightarrow{0}$$长度为零且为任意方向的零向量。$$\overrightarrow{a}$$=$$\overrightarrow{b}$$，指两向量相等（方向和大小），$$\overrightarrow{a}$$//$$\overrightarrow{b}$$，此为平行向量或共线向量。由两向量$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$构成的平面∠ AOB，顶点为O。角度计算，∠ AOB=<$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$>=θ(0°,180°)，cos<$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$>=cosθ=$$\overrightarrow{a}$$.$$\overrightarrow{b}$$/(|$$\overrightarrow{a}$$|.|$$\overrightarrow{b}$$|)。当θ=90°，$$\overrightarrow{a}$$⊥$$\overrightarrow{b}$$；当θ=180°，$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$反向；当θ=0°，$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$同向。
1.1. 平面向量线性运算
1.2. 向量数乘和内积
数乘，向量$$\overrightarrow{a}$$（$$\overrightarrow{a}$$≠$$\overrightarrow{0}$$）, $$\overrightarrow{b}$$共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得$$\overrightarrow{b}$$=λ$$\overrightarrow{a}$$。向量内积指$$\overrightarrow{a}$$.$$\overrightarrow{b}$$=|$$\overrightarrow{a}$$|.|$$\overrightarrow{b}$$|.cosθ，|$$\overrightarrow{a}$$|.cosθ称向量投影。零向量与任一向量内积为0。其性质如下：
向量坐标计算。任一向量$$\vec{a}$$=λ1$$\vec{e}$$1+λ2$$\vec{e}$$2，两不共线向量$$\vec{e}$$1，$$\vec{e}$$2叫做表示此平面所有向量的一个基。直角坐标系中，$$\vec{a}$$=x$$\vec{i}$$1+y$$\vec{j}$$2，$$\vec{a}$$=(x, y)。计算如下：
2. 平面直线方程
平面直线于x轴正向所得角为倾斜角，α∈(0, Π)。当α=Π/2，直线垂直于x轴，斜率k=tanα不存在；一般斜率计算k=tanα=(y2-y1)/(x1-x2)。
五种直线方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式(无斜率也能表示)
1. y-y1=k(x-x1)；
2. y=kx+b;
3. (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1);
4. x/a+y/b=1(不经过原点);
5. Ax+By+C=0(A、B不同时为0).
点线计算。
一是L1，L2位置关系。一般式联立求解，有唯一解则相交于解值，无解则平行。另转化为斜截式，L1//L2⇔k1=k2, 且b1≠b2；L1⊥L2⇔k1.k2=-1，互为负倒数。两直线夹角公式，tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|，θ≠Π/2。
二是距离计算。点点距离，d=√(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2；点线距离，已知直线一般式和线外一点(x0, y0)，d=|Ax0+By0+C|/√(A^2 +B^2) ；线线距离：两平行线一般式（A、B化简后可相同）相减的绝对值，d=|C2-C1|/√(A^2 +B^2)。
3. 圆与圆锥曲线
3.1. 圆
圆的三种方程：
1. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，标准方程圆心C(a,b)；
2. (x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，直径式方程，已知直径上两点；
3. x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，一般方程(D^2+E^2-4F)>0，该条件=0表示一个点，<0不表示任何图形。半径r=1/2.√(D^2+E^2-4F)。
注：圆的一般二元二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，条件(D^2+E^2-4F)>0，A=C≠0，B=0。
点线圆计算。
一是点圆关系，常用圆标准方程。点在圆内⇔(x0-a)^2 +(y0-b)^2 3.2. 平面圆锥曲线
圆锥曲线是指由平面截二次锥面得到的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。平面内，到定点与到定直线l的距离之比等于定值e的集合。03.2.1. 椭圆
椭圆原理是点到两定点距离之和等于常数|PF1+PF2|=2a，且两定点距离2c。考虑长轴在x轴时，标准方程是x^2 /a^2 +y^2 /b^2 =1，长轴2a，短轴2b，焦点是F(±c, 0)。关系a^2 -b^2 =c^2（椭圆中a最大，双曲c最大），两条准线在椭圆两侧。
3.2.2. 双曲线
双曲线原理是点到两定点距离之差等于常数|PF1-PF2|=2a，且两定点距离2c。考虑长轴在x轴时，标准方程是x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =1，虚轴2a，短轴2b，焦点是F(±c, 0)。关系a^2 +b^2 =c^2 （双曲c最大），两条准线在双曲之间。（在y轴时，标准方程是y^2 /a^2 -x^2 /b^2 =1）
焦点在x轴，双曲渐近线的虚轴2a对应在y轴上。而焦点在x轴（y轴）渐近线为y=±bx/a(y=±ax/b)。此外，等轴双曲线的实轴长与虚轴长相等，x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =1与x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =-1互为共轭双曲线（虚轴与实轴互调换）。
3.2.3. 抛物线
抛物线原理是到一个定点F与一条定直线l的距离相等的点的轨迹（F∉l）。考虑焦点在x轴时，标准方程是y^2 =2px，开口x轴正向向右，焦点(p/2, 0)，准线x=-p/2位于x轴负向。p为焦点到准线的距离。
注：代数法判断直线与圆锥曲线C的关系，即联立两方程。先消去y（或x）得到ax^2 +bx +c=0。（1）当a=0时，且解方程有解，则相交于一点。如C为双曲则直线与双曲渐近线平行，如C为抛物线则直线与抛物对称轴平行；（2）当a≠0时，解方程判别Δ，若Δ>0则有两个解（即交点），Δ=0则有唯一解，Δ<0则无解（即不相交）。此时的一个交点包含相交与相切。
3.2. 极坐标
自极点O以x正轴为起始，已知对应点M对应终边OM，以角xOM为极角，则有序数对(ρ, θ)。极坐标与直角坐标的互换方程如下：
计数与二项式
1. 计数法
1.1. 基本计数原理
分类加法计数。假设有n类办法做一件事，而第I类办法有m1个方法，II类有m2个法，……，n类有mn个法。则完成此事共有N1 = m1+m2+...+mn种不同方法。
分步乘法计数。假设做一件事需要n个步骤，且第I个步骤有m1个方法，第II步有m2个法，……，第n步有mn个法。则此事共有N2 = m1×m2×...×mn种不同方法才能完成。
**排列**，指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排好。排列相同进具备元素和顺序相同（分布乘法计数）。排列数Anm = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-m+1)，n, m∈N* , m≤n。全排列，即m=n，Anm = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-(n-1)+)×(n-n+1) = n×(n-1)×...×3×2×1 = n!。
**组合**，指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合。一般n个元素任取m个元素的排列，可以分两步：（1）先完成任取m个元素的排列，Cnm ；（2）后对此m个元素全排列，Amm 。据分布乘法可得Anm = Cnm .Amm 。
1.2. 排列组合计算
(a+b)n 展开式的项 为：(a+b)n = Cn0 an b0 + Cn1 an-1b + Cn2 an-2 b2 + ... + Cnn-1 a1bn-1 + Cnn a0bn;2. 二项式
Tk+1 = Cnk an-kbk 为二项式通项。二项式有一般有n+1项，二项式系数依次为组合数Cn0 , Cn1 , Cn2 , ... , Cnn ，各项次数和为n，展开式以a的降幂，b的升幂展开。
二项式具有三个特点：（1）对称性。对称位置的系数相等，即Cnm = Cnn-m 。（2）增减性。当k≤(n+1)/2时，二项式系数Cnk 的值逐渐增大；当k≥(n+1)/2时，二项式系数Cnk 的值逐渐减小。n为偶数时，中间项（第n/2+1项）系数最大；n为奇数时，中间项（第(n+1)/2和(n+1)/2+1项）系数最大。（3）对于(a+b)n 二项式系数和为2n ，二项式奇数项系数和与此偶数项系数和都等于2n-1 。