数据结构:二叉树的基本概念

1. 二叉树的定义

如果我们猜一个100以内的数字,该怎么猜才能理论最快呢?
第一种方式:从1,2一直猜到100, 反正数字都是100以内,总能猜到的
第二种方式:先猜50,如果比结果小,猜75;如果比结果大,猜25.最后也能猜到对应的值

很显然,第二种方式明显优于第一种方式.第一种方式的时间复杂度是$O(N)$,而第二种方式的时间复杂度是$O(logN)$.

对于这种在某个阶段都是两种结果的情形,比如开和关,0和1,真和假等等,都适合用树状结构来建模,而这种树就是之前说的很优秀的树状结构,叫做二叉树.

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二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合.

• 该集合或者为空集(称为空二叉树).
• 或者由一个根节点和两棵互不相交,分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成.

2. 二叉树的特点

根据上面的二叉树的图片,我们可以得到二叉树的以下特点

• 二叉树不存在度大于 2 的结点
  二叉树每个结点最多度为2,即最多有左右两个子树,不存在或者只有一颗子树是可以的.
• 二叉树的子树有左右之分,次序不能随意颠倒,因此二叉树是有序树
  正如人的左脚和右脚不能随意颠倒,二叉树也分为左子树和右子树的;
  即使某个结点只有一棵子树,也是要分清楚是左子树还是右子树的

上图的两棵树虽然是同一棵树,但是不是同一棵二叉树

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二叉树具有以下五种基本形态,任意的二叉树都是由下面的情况复合而成的

• 空二叉树
• 只有一个根结点
• 根节点只有左子树
• 根节点只有右子树
• 根节点既有左子树又有右子树

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如果只从形态上考虑,三个结点的树只有两种情况,就是下图的树1和后面四个中的任意一种.
但是对于二叉树这个有序树而言,左右子树是由区别的,所以下面五种情况都表示不同的二叉树.

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现实中的二叉树很漂亮,正如在数据结构中,二叉树这个树形结构也占据很重要的地位一样,有时候数学的美和大自然的美都是相通的.

3. 特殊二叉树

斜树

所有的结点都只有左子树的叫左斜树,所有的结点都只有右子树的叫右斜树.
这两者统称为斜树.

其实,线性表就是一种特殊的斜树,但是两者的逻辑结构还是不一样的,线性表是一对一线性结构的,而斜树是一对多树形结构的

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满二叉树

在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有的叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树

满二叉树有以下特点

• 叶子结点只能出现在最下一层
• 非叶子结点的度一定是 2
• 满二叉树的结点个数最多,叶子数最多.如果一个满二叉树有 K 层, 那么一共有 $2^k-1$个结点

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完全二叉树

对一个具有 n 个节点的二叉树按层序编号, 如果编号为 i($1⩽i⩽n$)的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置完全相同, 则这颗二叉树称为完全二叉树.

最重要的是按层序编号
例如下面的三个二叉树,就不是完全二叉树.它们对应满二叉树的结点编号缺少了.

总而言之就是,除了最后一层的不满并且最后一层的从第一个结点开始是连续的,这就是完全二叉树.

完全二叉树有以下特点:

• 叶子结点只能出现在最下两层
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
• 倒数两层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置
• 如果结点度为1, 则该结点只有左孩子
• 同样节点数的二叉树,完全二叉树的深度最小

如果有h层, 那么完全二叉树的结点数为 $[2^{h-1},2^h-1]$

4. 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1, 则一棵非空二叉树的第 i 层最多有$2^{i-1}$个结点.

2. 若规定根节点的层数为 1, 则深度为 h 的二叉树的最大结点数是$2^h-1$.

3. 对任何一棵二叉树,如果度为 0 的叶子结点个数为 $n_0$, 度为 2 的分支节点个数为 $n_2$, 则有 $n_0=n_2+1$.

4. 若规定根节点的层数为 1 , 具有n个结点的满二叉树的深度, h = $lo{g}_2(n+1)$.

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树, 如果按照从上至下, 从左至右的数组顺序对所有结点开始从 0 编号, 则对于序号为 i 的结点有:

• 若 i > 0, i位置结点的双亲序号: (i-1)/2; i=0, i为根节点编号, 无双亲结点.
• 若 2i+1=n 则无左孩子
  i > 0, i位置结点的双亲序号: (i-1)/2**; i=0, i为根节点编号, 无双亲结点.
• 若 2i+1=n 则无左孩子
• 若 2i+2=n 则无右孩子