数据结构与算法-基础算法篇-二分查找

1. 二分查找

1. 什么是二分查找？

二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。
二、时间复杂度分析？

2. 时间复杂度

假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^{k)，…，这是一个等比数列。当n/(2}k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。

3.认识O(logn)

1. 这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
2. 因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
3. 由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

4. 如何实现二分查找？

1. 循环实现

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}

注意事项：

1. 循环退出条件是：start<=end，而不是start
2. mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3. start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。

2. 递归实现

public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

5. 使用条件

1. 二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
2. 二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3. 数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4. 数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

6.思考

1. 如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB

我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。看起来这个问题并不难，很轻松就能解决。实际上，它暗藏了“玄机”。如果你对数据结构和算法有一定了解，知道散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构。你可能会觉得，用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题

2. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？

因为要精确到后六位，可以先用二分查找出整数位，然后再二分查找小数第一位，第二位，到第六位。整数查找很简单，判断当前数小于+1后大于即可找到，小数查找举查找小数后第一位来说，从x.0到(x+1).0，查找终止条件与整数一样，当前数小于，加0.1大于，后面的位数以此类推，可以用x*10^(-i)通项来循环或者递归，终止条件是 i>6，想了一下复杂度，每次二分是 O(logn)，包括整数位会查找7次，所以时间复杂度为 O(7logn)。空间复杂度没有开辟新的储存空间，空间复杂度为O(1)

3. 如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢?

假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
第二次，需要移动指针n/4次；
第三次需要移动指针n/8次；
…
以此类推，一直到1次为值

总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + ...+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：sum = n - 1.
最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同
但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢

4. 四种常见的二分查找变形问题

终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择是二分查找最需要注意的点。

上面二分查找算法前提是有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据呢，上面的算法就很有问题。看下面四种变形问题

1. 查找第一个值等于给定值的元素

a[10] = { 1, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 11, 18 }

如果我们用上面的的二分查找的代码实现，首先拿 8与区间的中间值 a[4]比较，8比6 大，于是在下标 5 到9 之间继续查找。下标 5和9的中间位置是下标 7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。尽管 a[7]也等于8，但它并不是我们想要找的第一个等于 8的元素，因为第一个值等于8 的元素是数组下标为5 的元素。上面的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，需要稍微改造一下上一节的代码。100 个人写二分查找就会有 100 种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    // 判断当前元素是否大于或等于，这里大于情况同之前一样。
    // 等于情况其实就是为了进行下步判断前面还有没有值相等的
    if (a[mid] >= value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
  // 这一步非常重要，要判断当前值是否存在
  if (low < n && a[low]==value) return low;
  else return -1;
}

看完这个实现之后，是不是觉得很不好理解？所以，我换了一种实现方法，你看看是不是更容易理解呢？

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      // 这里判断值相等的情况，对值相等情况做单独处理。
      // 个人更推荐这种做法。毕竟算法还是要容易被人理解的好
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}

2. 查找最后一个值等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

3. 查找第一个大于等于给定值的元素

a[5] = { 3，4，6，7，10 } 查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] >= value) {
      if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
      else high = mid - 1;
    } else {
      low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。如果a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为mid-1。

4. 查找最后一个小于等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] > value) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

5. 适用性分析

1. 凡事能用二分查找解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2. 求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么用到，二分查找更适合用在”近似“查找问题上。比如上面讲几种变体。

6. 补充

1. 如何快速定位出一个IP地址的归属地？
   [202.102.133.0, 202.102.133.255] 山东东营市
   [202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
   [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
   [202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
   [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
   [202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港
   假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？

   其实这个问题应该很简单。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

2. 如果有一个有序循环数组，比如4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法？
   有三种方法查找循环有序数组：

   1. 第一种：

      1. 找到分界下标，分成两个有序数组
      2. 判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找

   2. 第二种：

      1. 找到最大值的下标 x;
      2. 所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模;
      3. 利用偏移后的下标做二分查找；
      4. 如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。

   两种情况最高时耗都在查找分界点上，所以时间复杂度是 O(N）。

   复杂度有点高，能否优化呢？

   3. 第三种
      1. 我们发现循环数组存在一个性质：以数组中间点为分区，会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。
      2. 如果首元素小于 mid，说明前半部分是有序的，后半部分是循环有序数组；
      3. 如果首元素大于 mid，说明后半部分是有序的，前半部分是循环有序的数组；
      4. 如果目标元素在有序数组范围中，使用二分查找；
      5. 如果目标元素在循环有序数组中，设定数组边界后，使用以上方法继续查找。
      6. 时间复杂度为 O(logN)。