质数的判断与筛法

质数定义

不能被 $2，3，...，n-1$ 整除的自然数 $n$ 称之为素数，或质数。

判断单个质数 isPrime

那是不是一定要判断从 2 到 n-1 每个数能否整除 n 呢？

答案是不需要。

如果 k 整除 n，那么 n/k 也整除 n，它两位于 $\sqrt{n}$ 两侧，判断了 k ，也就判断了 n/k，不需要重复判断，我们只需要从 2 遍历到 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$（向下取整）。isPrime 函数代码如下：

bool isPrime(int n){
	if(n <= 1) return false;
	int sqrtn = (int)sqrt(1.0 * n); //n 乘以 1.0 变成浮点型
	for(int i = 2; i <= sqrtn; i++){
		if(n % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

或者这样写，

bool isPrime(int n){
	if(n <= 1) return false;
	for(int i = 2; i * i <= n; i++){
		if(n % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

这样写就得注意 n 的大小是否超过了 int 的范围。

素数筛

前面是对单个数的判断，其时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，如果要判断 n 个数，就会达到 $\mathbf{O}(\mathbf{n}\sqrt{\mathbf{n}})$。

素数筛的出现就是为了在较短时间复杂度内“筛出”一段范围内的所有质数。

埃氏筛

埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。

const int maxn = 101;
int primes[maxn], pNum = 0;// primes 存储范围内的素数，pNum 是素数个数
bool notPrime[maxn] = { 0 };// 筛，标记素数，素数标记为 false
void Find_Prime(){
	for(int i = 2; i < maxn; i++){
		if(!notPrime[i]){// i 为素数
			primes[pNum++] = i; //存储素数
			for(int j = 2 * i; j < maxn; j += i){
				notPrime[j] = true; // 筛，筛掉 i 的所有倍数
			}
		}
	}
}

筛掉 i 的倍数就会筛掉部分非素数，那下一个数一定是素数吗？一定是，因为遇到下一个素数 x 时，x 前面的所有数要么是素数，要么被素数筛掉了，既然 x 没有被筛掉，说明它前面没有整除它的数。

时间复杂度：$\mathbf{O}({\sum }_{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{n}}(\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{i}}))=\mathbf{O}(\mathbf{n}\log \log \mathbf{n})$

改进：

for(int j = i * i; j < maxn; j += i){
	notPrime[j] = true; // 筛，筛掉 i 的所有倍数
}

不用从 2 * i 开始筛除，因为已经被 i 前面筛除过了。

欧式筛

欧式筛时间复杂度为 $O(n)$