素数判断及其筛法

一、试除法判断素数

素数的定义是只能被常数1或自己整除，不能被其他整数整除的正整数。即不能被[2, n-1]区间内的整数整除的都是素数（2，3除外），所以可以从2开始试除，直到n-1，如果都不能整除，那就是素数，否则就是合数。当然这个可以优化，只需要试除到$\sqrt{n}$ 就可以了，一个数如果被小于$\sqrt{n}$的数整除，必然被另一个大于$\sqrt{n}$的数整数。以下是试除法的代码。

bool isPrime(int n){
	if(n <= 1) return false;
	for(int i = 2; i <= n/i; i++){
		if(n % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

二、埃式筛法

如果是求一个范围内的所有素数，用试除法一个一个去判断就太慢了，埃氏筛法可以很好解决这个问题，它的时间复杂度为$O(nlog(n))$，可以快速找出[2, n-1]中所有素数，它的做法是输出最小素数，并筛掉它的倍数，例：对于数列{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}进行如下操作：

1. 取出最小素数2，并筛去2的倍数，剩下{3，5，7，9，11}。
2. 取出最小素数3，并筛去3的倍数，剩下{5，7，11}。
3. 取出最小素数5，并筛去5的倍数，剩下{7，11}。
4. 取出最小素数7，并筛去7的倍数，剩下{11}。
5. 取出最小素数11，并筛去11的倍数，数列为空，结束操作。

代码如下：

const int maxn = 1e7;
int Prime[maxn];
bool visit[maxn];

int EratSieve(int n){
	int len = 0;
	for(int i = 0; i <= n; i++){
		visit[i] = false;
	}
	for(int i = 2; i <= n/i; i++){
		if(!visit[i]){
			for(int j = i*i; j <= n; j += i){
				visit[j] = true;
			}
		}
	}
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!visit[i]) prime[len++] = i;
	}
	return len;
}

三、欧拉筛法

上面讲的埃氏筛法虽然可以快速筛去区间[2, n] 内的素数，但是有些数也重复筛了，如12被 2 和 3 筛了 2 次，下面介绍的欧拉筛法很好地解决了这个问题，它的时间复杂度仅为$O(n)$。代码如下：

const int maxn = 1e7;
int Prime[maxn];
bool visit[maxn];

int Euler(int n){
	int len = 0;
	for(int i = 0; i <= n; i++){
		visit[i] = false;
	}
	for(int i = 2;i <= n; i++){
		if(!visit[i]){
			prime[len++] = i;
		}
		for(int j = 0; j < len; j++){
			if(i*prime[j] > n) break;
			visit[i*prime[j]] = true;
			if(i%prime[j] == 0) break;
		}
	}
	return len;
}

第一个for循环的i即做筛选的数，也做筛选的倍数。做筛选的数时，从2开始筛选，直到n，标记为false的即为素数；做筛选的倍数时，每轮筛选都遍历素数列表，把素数列表的i倍置为true，但是如果倍数为合数，可能会中途退出，以n=12为例，有以下流程：

1. 2为false，是素数，加入素数队列，同时筛掉2的2倍，即筛掉4。
2. 3为false，是素数，加入素数列表，同时筛掉2，3的3倍，即筛掉6，9。
3. 4为true，不是素数，筛掉2的4倍，4能被2整除，退出循环，即筛掉8。
4. 5为false，是素数，加入素数列表，同时筛掉2，3，5的5倍，但15超过12，即筛掉10。
5. 6为true，不是素数，筛掉2，3，5的6倍，但18超过12即筛掉12。
6. 7为false，是素数，加入素数队列，但素数列表的7倍都超过12，不筛选。
7. 8为true，不是素数，素数列表的8倍都超过8，不筛选。
   以此类推…

从上面可以看出来，用欧拉筛法不会重复筛同一个数，当数据很大时，可以大大降低时间复杂度。

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