CSP-J2021普及组题解T1：分糖果

题目描述

红太阳幼儿园的小朋友们开始分糖果啦！
红太阳幼儿园有 $n$ 个小朋友，你是其中之一。保证 $n\ge 2$。有一天你在幼儿园的后花园里发现无穷多颗糖果，你打算拿一些糖果回去分给幼儿园的小朋友们。由于你只是个平平无奇的幼儿园小朋友，所以你的体力有限，至多只能拿 $R$ 块糖回去。但是拿的太少不够分的，所以你至少要拿 $L$ 块糖回去。保证 $n\le L\le R$。

也就是说，如果你拿了 $k$ 块糖，那么你需要保证 $L\le k\le R$。如果你拿了 $k$ 块糖，你将把这 $k$ 块糖放到篮子里，并要求大家按照如下方案分糖果：

• 只要篮子里有不少于 n 块糖果，幼儿园的所有 n 个小朋友（包括你自己）都从篮子中拿走恰好一块糖，直到篮子里的糖数量少于 n 块。
• 此时篮子里剩余的糖果均归你所有——这些糖果是作为你搬糖果的奖励。

作为幼儿园高质量小朋友，你希望让作为你搬糖果的奖励的糖果数量（而不是你最后获得的总糖果数量！ ）尽可能多。

因此你需要写一个程序，依次输入 $n,L,R$，并输出出你最多能获得多少作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

输入格式

输入一行，包含三个正整数 $n,L,R$，分别表示小朋友的个数、糖果数量的下界和上界。

输出格式

输出一行一个整数，表示你最多能获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

数据范围

对于所有数据，保证 $2\le n\le L\le R\le {10}^9$。

输入 #1：

7 16 23

输出 #1：

6

输入 #2

10 14 18

输出 #2

8

朴素算法（打擂台求最值，90分）

分析题目描述，一共$n$个小朋友，你要拿的糖果数$L\le k\le R$，分给小朋后剩下的糖果作为对你的奖励，要求的是奖励的最大值，朴素做法就是枚举$L$到$R$的每个数$i$，求$i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$的最大值。

时间复杂度

时间复杂度为$O(R-L)$，90分。

算法实现

#include 
using namespace std;
int main()
{
    int n, l, r;
    cin >> n >> l >> r;
    int ans = 0;
    for(int i = l; i <= r; i ++)
        ans = max(ans, i % n);
    cout << ans << endl;
}

算法思想（余数性质，100分）

根据余数相关性质，$0\le (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\le n-1$，也就是将糖果分给$n$个小朋友，余数的最大值为$n-1$。但是从$L$到$R$一定能取得最大值$n-1$吗，不一定！分两种情况：

• 如果$L$和$R$不在一个周期内，那么从$L$到$R$中一定存在$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$最大值$n-1$。例如当$n=7,L=16,R=23$，$L$和$R$不在同一周期内，此时区间$[16,23]$中存在$20\%7=6$。
• 如果$L$和$R$在一个周期内，那么$L$到$R$中$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$最大值为$R\%n$，即区间$[L,R]$中最大值$R\%n$的结果。例如$n=10,L=14,R=18$，$L$和$R$在同一周期中，此时区间$[14,18]$中$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$的最大值为$18\%10=8$。

时间复杂度

时间复杂度为$O(1)$，100分。

算法实现

#include 
using namespace std;
int main()
{
    int n, L, R;
    cin >> n >> L >> R;
    if(R / n > L / n) cout << n - 1 << endl;
    else cout << R % n << endl;
    return 0;
}