开刷：《信号与系统》 Lec #10 离散时间傅里叶级数和变换

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

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1. LTI系统对离散复指数信号的响应

首先我们证明复指数信号是LTI系统的特征函数，假设LTI系统的单位脉冲响应为，输入，那么输出可以通过卷积和得到，

令，那么

得证是离散LTI系统的特征函数，是特征值。

在傅里叶分析中，只考虑的情况，也即，因此仅考虑形式的复函数。

2. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示

回忆第一章学习离散时间周期信号时，一个与连续时间周期信号非常重要的不同点，就是成谐波关系的周期信号只有个，因为在频率上相差的整数倍的离散时间复指数信号是一模一样的！那么这就意味着离散时间周期信号的傅里叶级数是一个有限项级数。

2.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合

定义一个离散时间周期信号，

基波周期为使上式成立的最小正整数，基波频率。傅里叶分析中我们使用复指数函数就是一个典型的离散时间周期信号。下面这个式子定义了一组成谐波关系的复指数信号，它们都是周期的，其基波频率都是的倍数，

因为对于谐波函数来说，频率相差的整数倍时，两函数相等，具体来说就是谐波函数只有个，

我们希望利用的线性组合来表示一个更为一般的周期信号，即

注意上面求和中，求和限为，可以从0到，也可以1到，也可以其他任意个连续整数。

2.2 周期信号傅里叶级数系数的确定

对于复指数这样一个周期信号，在一个周期内对自变量求和，

仔细观察上面的求和式，当时，为一个常数1，这时对求和结果就是；而当取其他值时，是一个周期信号，周期为，那么在周期内对求和结果为0。

基于以上推导，我们现在来想办法求傅里叶级数系数。将的傅里叶级数表达式重写在下面，

首先，左右两边同时乘以，

再对自变量在内求和，

交换上式等号右边的求和顺序可得，

想不明白上面求和顺序变换的话，可以笨办法展开求和，发现求和顺序变化不影响求和结果。我的理解是求一个行列的矩阵元素的和，你可以横着求和也可以竖着求和；又或者说在程序里用for循环求二阶矩阵的和，可以for i包含for j，也可以for j包含for i，这个求和顺序不会影响求和结果。

回到上面的等式，等号右边有一个求和

当时（或者说相差的整数倍，我这里就简单点不严谨一下），这个求和结果等于；如果，这个求和结果为0。

那么可以写出下面这个式子，

这样离散时间周期信号傅里叶级数系数就求出来了，

回想连续时间周期信号傅里叶级数系数的求解，和这里思路一模一样，都是利用了直流为0的周期信号在周期内求和结果等于0的性质。

此外，除了的傅里叶级数表达是一个有限项级数，与连续时间不同的是，因为

所以，

也就是说，的值是以为周期重复的。

由于的傅里叶级数表达是一个有限项级数，因此离散时间周期信号的傅里叶级数不存在收敛问题，也不存在吉布斯现象。

3. 离散时间傅里叶级数性质

3.1 相乘

上面的求和就是周期卷积。

3.2 一次差分

3.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理

4. 傅里叶级数与LTI系统

这篇笔记一开始，我们定义了，

其中是LTI系统的单位脉冲响应。被称作系统函数，将局限在形式的系统函数被称为系统的频率响应，

令LTI系统输入为一个周期信号，其傅里叶级数表示为，

输出就是，

5. 离散时间傅里叶变换

5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换

5.1.1 离散时间傅里叶变换的导出

考虑某一序列，具有有限持续期，也就是说对于整数和，在的范围之外，。由这个非周期信号可以构成一个周期序列，使得对来说，是它的一个周期。随着的周期增大，就在更长的时间间隔内与相等，而当时，。

写出周期信号的傅里叶级数表达，

因为在区间内，，所以可以写作，

又因为在区间外，有，所以

现定义函数

那么

其中表示频域中的样本间隔。将代回到的傅里叶级数综合公式中，

又因为，

随着，上式中的求和演变为一个积分，积分宽度为，因为求和是对个宽为的间隔内完成的，所以积分宽度为。

上式就是离散时间傅里叶变换。

在离散时间中，由于频率相差的复指数信号是完全一样的，所以

• 对周期信号来讲，傅里叶级数系数是周期的，并且傅里叶级数表示式是一个有限项的和

• 对非周期信号而言，是周期的，周期为，综合公式的积分区间为

5.1.2 离散时间傅里叶变换的收敛

如果是绝对可积的，即

或者信号的能量是有限的，即

那么的傅里叶变换就是收敛的。

对于综合公式，因为积分区间是有限的，因此一般不存在收敛问题，而且也不会有吉布斯现象。

5.2 周期信号的傅里叶变换

与连续时间相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也划入到傅里叶变换的框架中。考虑如下信号，

我们在学习连续时间周期信号傅里叶变换时，知道的傅里叶变换就是一个发生在处的冲激。于是我们期望在离散时间中也会有相同结果。然而离散时间傅里叶变换对来说必须是周期的，周期为，那么的傅里叶变换应该就是发生在、、等处的冲激，即

为了验证上式，求的傅里叶逆变换，

注意看，这里积分区间为，因此整个积分区间内只会有一个冲激，假设积分区间内的冲激发生在，那么

这就证明了

现在我们考虑一个周期序列，周期为，其傅里叶级数为

那么我们就可以写出的傅里叶变换