一篇文章彻底搞懂熵、信息熵、KL散度、交叉熵、Softmax和交叉熵损失函数

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一、熵和信息熵

1.1 概念

 1. 熵是一个物理学概念，它表示一个系统的不确定性程度，或者说是一个系统的混乱程度。

 2. 信息熵：一个叫香农的美国数学家将熵引入信息论中，用来衡量信息的不确定性，并将它命名为 “香农熵” 或者 “信息熵”。

熵和信息熵的区别就是应用领域和具体含义是不同的。
就像其他地方话叫帅哥，而广东话叫靓仔。
熵 vs 信息熵 类似于 帅哥 vs 靓仔。

1.2 信息熵公式

 1. 信息熵公式如下所示，其中n表示随机变量的可能取值数，x表示随机变量，P(x)表示随机变量的概率函数。

 2. 一个简单的例子应用信息熵的公式：

二、KL散度和交叉熵

2.1 KL散度(相对熵)

 1. KL散度：是两个概率分布间差异的非对称性度量，KL散度也被称为相对熵。 通俗的说法：KL散度是用来衡量同一个随机变量的两个不同分布之间的距离。

 2. KL散度公式如下，其中P( p) 是真实分布，Q(q)是用于拟合P的分布，KL散度越小，Q越接近于P。

 3. KL散度的特性：（1）分对称性：DKL(p||q) ≠ DKL(q||p)，只有概率分布完全一样时才相等。（2）非负性：DKL(p||q)恒大于0，只有概率分布完全一样时才等于0。

 4. 一个简单的例子应用KL散度的公式：

2.2 交叉熵

 1. 交叉熵由来是有KL散度公式变形得到的，如下图所示：

 2. 交叉熵的主要应用：主要用于度量同一个随机变量X的预测分布Q和真实分布P之间的差距。

 3. 交叉熵的一般公式：

 4. 交叉熵的最简公式：

 5. 一个简单的例子应用交叉熵的公式：

 从上述例子得到的结论：（1）预测越准确，交叉熵越小。（2）交叉熵只跟真实标签的预测概率值有关。

 6. 交叉熵的二分类公式：

 7. 为什么在很多网络模型中，使用交叉熵作为损失函数，而不使用KL散度作为损失函数呢？我们来简单看一个例子直观理解一下：

 那总结是因为：交叉熵损失函数在数值稳定性、梯度计算效率和目标函数形式等方面具有优势，因此更常用于网络模型的训练。但在某些特定的任务或场景下，KL散度也可以作为损失函数使用。

三、Softmax和交叉熵损失函数

3.1 Softmax

 1. 定义：Softmax函数是一种常用的激活函数，它通常用于多分类任务中，将模型的输出转化为概率分布。Softmax函数将输入向量的每个元素进行指数运算，然后对所有元素求和，最后将每个元素除以求和结果，得到一个概率分布。

Soft是将数字转换为概率的神器，是将数据归一化的神器。

 2. Softmax的公式如下：

 3. 一个简单的例子应用Softmax的公式：

3.2 交叉熵损失函数

 1. 交叉熵损失函数公式：

 注意：（1）因为有些输入是数值，需经过Softmax转换为概率，所以log括号里写的是Softmax公式。（2）标签中有个真实值肯定为1，其余为0，所以相当于交叉熵最简公式。

 2. 代码块举例：

import torch
import torch.nn as nn
#定义数据
torch.manual_seed(100) #设置随机种子，以保证结果的可重复性。
predict = torch.rand(4, 5)
label = torch.tensor([4, 3, 3, 2])
print(predict)
print(label)

#定义交叉熵损失函数
criterion = nn.CrossEntropyLoss()

#计算整体的损失值
loss = criterion(predict, label)
print(loss)#最后将这四个样本的损失值进行求平均，得到整体的损失值。

#计算单个样本的损失值
one_loss = criterion(predict[0].unsqueeze(0), label[0].unsqueeze(0)) #.unsqueeze(0)是转二维向量
print(one_loss)