【机组】计算机系统组成课程笔记 第二章 计算机中的信息表示
2.1 无符号数和有符号数
2.1.1 无符号数
没有符号的数，其实就是非负数。在计算机中用字节码表示，目前最常用的是八位和十六位的。
2.1.2 有符号数
将正负符号数字化，0代表 + ，1代表 - ，并把代表符号的数字放在有效数字前，就组成了有符号数。
1. 机器数和真值
我们接下来要用到的真值都指的是带符号的二进制数。
机器数是相对于真值而言的，下面要讲的原码、补码、反码和移码都属于机器数。
2. 原码表示法
原码，顾名思义，是机器数最原本的表示方法，原码包括两个部分，符号位和数值位，符号位用0和1代表这个数的正负，数值位就是真值的绝对值。
为了区别用原码表示的整数和小数，整数的符号位和数值位用逗号隔开，小数的则用小数点隔开。
原码的优点：表示简单，易于和真值转换。
原码的定义 -- 整数
原码的定义 -- 小数
原码可以表示的小数范围在-1和1之间，其他带小数的数可以用整数+小数这样的组合来表示。
例题
注意，在由原码求真值的题目中，若结果为正，那也得加一个 + 号！
3. 补码表示法
补的概念
取模为12的时候，+2等价于-10，-4等价于+8，+3等价于+15等价于+27。
在上面的例子里，-10的补数为+2，-4的补数为+8。并且正数的补数是其本身。
由此可以知道，只要确定了模，就可以为任何一个负数找到与其对应的正数，也就是补数，这样就方便进行运算，在对含有负数的式子进行加法运算时，可以先将负数取补数，最后取模即可。
补的结论
补码的定义 -- 整数
补码的定义 -- 小数
用补码表示负的小数时，因为符号位要为1，所以应该模2，也就是用2减去真值，这样得到的结果里，符号位一定为1，数值位即为真值的补数。
要注意，2也得用二进制来表示！
变形补码 -- 双符号位补码
求补码的快捷方式
对正数来说，补码就是符号位加上真值本身，简单易求；
对负数来说，求补码则有快捷方式：
总而言之，就是符号位不变，数值位取反，末尾加一。
4. 反码表示法
反码通常是基于上面原码与补码转换的快捷方式，所需要的中间过渡。
由于正数不需要快捷方式，所以反码还是和原码补码一样，只有符号位和真值不同。
只有负数需要将全体数值位转换为相反的数。
反码的定义 -- 整数
反码的定义 -- 小数
例题
5. 移码表示法
用原码和补码时很难一眼比出两个数的大小，这时候就需要使用移码了。
移码的定义
移码的特点
同一个真值的移码和补码只差一个符号位。
作业题知识点补充
1. 分数转换为二进制数
以 29/128 为例：
第一步
把分子和分母都转换为二进制，要表示为2的多少次。
那么分子表示为：2^4+2^3+2^2+2^0
那么分母呢：2^7
继续将他们写成分数形式：（2^4+2^3+2^2+2^0）/2^7。
接下来计算就好了，结果为：2^-3+2^-4+2^-5+2^-7。
第二步
讲一个小知识点：对于二进制数左移是放大2倍，右移是缩小2倍。
那么对于二进制1，我们右移得到0.1，缩小2倍。所以0.1代表1/2，即2-1。同理，0.01就是1/4，即2-2，以此类推。
有了这个基础，再看看上面的式子，不就是0.001+0.0001+0.000 01+0.000 0001。
用二进制加法计算出最后结果，即0.001 1101。
2. 无原码的特殊情况
补码为1.0000的真值为-1，但是没有原码，因为小数原码的范围如下：
可知，小数1和-1都没有原码。
补码为1，0000的真值为-16，但也没有原码，因为整数原码的范围如下：
当数值位有四位时，原码的取值只能小于+16。
3. 十六进制转换为二进制
每个十六进制数都代表四位二进制数，所以直接按位置转换即可。
0 ~ 9 都可以当成十进制数化为二进制数，只是不足的要补足至四位，而剩下的则如下表所示：
| 十六进制 | 十进制 | 二进制 |
| A | 10 | 1010 |
| B | 11 | 1011 |
| C | 12 | 1100 |
| D | 13 | 1101 |
| E | 14 | 1110 |
| F | 15 | 1111 |
2.2 数的定点表示和浮点表示
2.1.1 定点表示
2.1.2 浮点表示
规格化数：浮点数的尾数以1开头，例如0.110101。
1. 浮点数的表示形式
2. 浮点数的表示范围
3. 浮点数的规范化
2.2.3 定点数和浮点数的比较
- 当浮点机与定点机中的数其位数相同时，浮点数的表示范围比定点数大得多。（浮点机和定点记中的数都表示为机器数）
- 当浮点数为规格化数时，其精度远高于定点数。
- 浮点数运算分阶码和尾数部分，而且运算结果要求规格化。
- 在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。
2.2.4 举例
机器零
- 当浮点数尾数为0时，不论其阶码是多少，按机器零处理；
- 当浮点数阶码等于或小于它能表示的最小数时，不论尾数是多少，按机器零处理
2.2.5 IEEE 754 标准
S：数符号，表示浮点数的正负，0为正，1为负；
阶码（含阶符）：实际上是偏移阶码，求得阶码需要用原来的阶数加上不同长度实数对应的偏移量
偏移量：短实数（32位）127，长实数（64）1023
尾数：要先化为“1.xx……xx”的形式，再把最高位的“1”省略，只列出小数点后面的数，不足23位的要用0补齐
2.3 定点运算
2.3.1 移位运算
1. 移位的意义
定点移位，就是小数点的绝对位置不动，其余的数字全部向左或向右移动；
左移时，绝对值增大；右移时，绝对值减小。
在计算机中整移位运算很有用，让移位和加减配合就可以实现乘除运算。
算术移位：有符号数的移位，数值位在移位，符号位不变。
逻辑移位：无符号数的移位。
2. 算术移位规则
机器数移位后的空位添补规则
要注意，在算术移位中，移位前后符号位不变。
而逻辑移位中，左移时低位添0，高位丢弃；右移时高位添0，低位丢弃。
2.3.2 加减法运算
1. 补码加减运算公式
2. 溢出判断
一位符号位补码判断溢出：
若相加的两个数的符号位相同，和的符号位不同（无论是否有进位），即为溢出。
若相加的两个数符号位不同，则不会溢出。
两位符号位补码判断溢出：
结果的双符号位相同 → 无溢出
结果的双符号位不同 → 溢出
最高符号位代表其真正的符号
2.3.3 乘法运算
1. 笔算乘法
2. 笔算乘法改进
3. 原码乘法
2.3.4 除法运算
1. 笔算除法
2. 原码除法
约定：
- 小数定点除法 x* < y*
- 整数定点除法 x* > y*
- 被除数不等于0
- 除数不能为0