【个人学习记录】快速幂算法/位运算 [ZCMU OJ]1202: 3的幂的和&1417: 2048

Description

求：3^0 + 3^1 +...+ 3^(N) mod 1000000007。

Input

每行一个整数N(0 <= N <= 10^9)

Output

输出：计算结果

Sample Input

3

Sample Output

40

HINT

(a/b)%c=(a%(b*c))/b (a 能整除b)

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写点废话：今天看《数据结构与算法分析》p26-27，其中提到幂运算。刚好想到了快速幂算法（虽然我听说过这个算法但当时并不会），结果我以为书上的取幂运算就是针对这道题的最优算法，想现学现用一下。结果发现要么tle要么wa，折腾了好久。。。最最开始遇到这个题目用的for循环（当然这肯定超时了）。。既然要解决这道题那么就要涉及到数据结构，我就上网学习了一波快速幂算法。

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书上的取幂运算计算X^N运用到了递归思想，指数为0则结果返回1，指数为1则返回X本身。如果指数是偶数，则将X^N变为X^(N/2)*X^(N/2)；是奇数则将X^N变为X^(N/2)*X^(N/2)*X；所需要的乘法次数最多是2logN。

long int Pow(long int X,unsigned int N)
{
	if(N==0)
	return 1;
	else if(N==1)
	return X;
	if(N%2==0)
	return Pow(X*X,N/2);
	else
	return Pow(X*X,N/2)*X;
}

 按照相同的思路以及我通过学习之后的理解，我把最初用for暴力循环替换成了如下代码（其中maxn=1e9+7）；底数平方，指数减半；若指数为奇数则减去1使指数为偶数再除以2。

long long qp(long long base,long long power)
{
	long long result=1;
	while(power>0)
	{
		if(power%2==0)
		{
			base=(base*base)%maxn;
			power/=2;	
		}
		else
		{
			power--;
			result=(result*base)%maxn;
			power/=2;
			base=(base*base)%maxn;
		}
	}
	return result;
}

假设计算x^43，程序如下运行：

尽管如此，程序依然超时了。那么可以利用位运算替换一些语句。

power%2==1 可替换为 power&1 （与运算）

power/=2 可替换为 power>>=1（将power的二进制位向右移动一位则可使power变为原来的一半）

再次优化，其中求和利用等比数列求和公式 Sn = ( a1*(1-q^n) )/(1-q) 即可。a1=1,q=3;

注意：除以一个数mod另一个数等于乘以这个数的逆元。

学习并掌握核心思路再把思路翻译为代码如下：

#include
using namespace std;
const int maxn=1e9+7;
long long qp(long long power)
{
	long long result=1,base=3;
	while(power>0)
	{
		if(power&1)
		{
			result=(base*result)%maxn;
		}
		power>>=1;
		base=(base*base)%maxn;
	}
	return result;
}
int main()
{
	long long n;
	while(cin>>n)
	{
		cout<<(qp(n+1)-1)*(500000004)%maxn<

注意：对于取余运算，(a/b)%c != (a%c / b%c) %c;

(a/b)%c=(a%(b*c))/b (a 能整除b)

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Description

想必大家都玩过2048的游戏，小明想知道这个游戏能出现的最高数字是多少？请你帮忙计算，当然小明玩的2048和我们的不太一样，小明的2048不一定是4X4的格子，可以使3X2等等。小明的2048只能随机生成2。

Input

输入n，m(0<=n,m<=10^4)表示有2048游戏矩阵的大小，当0，0时结束；

Output

输出理论最大值,答案对1000000007取余。

Sample Input

2 2 0 0

Sample Output

16

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思路同理，注意m或n等于0的情况，上ac代码：

#include
using namespace std;
const int maxn=1e9+7;
long long QuickPower(long long base,long long power)
{
	long long result=1;
	while(power>0)
	{
		if(power&1)
		{
			result=result*base%maxn;
		}
		power>>=1;
		base=(base*base)%maxn;
	}
	return result;
}
int main()
{
	long long n,m;
	while(~scanf("%lld %lld",&n,&m)&&(n!=0||m!=0))
	{
		if(n==0||m==0)
		cout<<"0"<