高等代数基础知识速览

二次型和线性变换的问题都是定义在先验的数域P上的（数乘运算包含了）。无特殊说明，默认P=R；特殊情况，P=C。

矩阵，行列式和多项式

1. 初等变幻、秩（矩阵的行秩==列秩）、线性相关
2. 一次线性方程组
   1. 一次齐次线性方程组的解空间
   2. 一次线性方程组的有解的判定
   3. 克拉默法则
3. 行列式
   1. 拉普拉斯展开
   2. 基本的运算性质（例如，第i行加上你n倍第j行，行列式值不变）
4. 矩阵
   1. 矩阵乘法不可交换，但一元多项式乘法可以交换
   2. 逆矩阵、伴随矩阵
   3. 分块矩阵
5. 多项式
   1. C、R、Q上分解
   2. 除法理论、互素理论（最小公因式）（辗转相除法&裴蜀定理）

【例题】A、B均可逆求A·B的逆矩阵。

二次型及其配方形式

二次型是用对称矩阵刻画多元二次齐次多项式及其配方形式。

解方程组初等变幻	等价	M=LNR
二次型配方	合同	M=K^TNK
线性空间变幻/基变幻	相似	M=K^-1NK

实对称矩阵可以变幻成合同的对角阵/正交矩阵变幻成对角阵。 

正定的充要条件：顺序主子行列式均大于0；合同于E

线性变幻和线性函数

线性空间的定义：集合V、数域P、2个运算函数（8条运算律）

子空间的性质类似子群格，不同于子集格的交、补，取上界、取下界的运算是交、和。

直和⊕的构造：基（线性无关向量组）生成（张成）的空间L(v_1,...,v_n)

线性变换的定义：保持2个运算函数的V →V的映射（维数相同，则存在双射/同构映射）（线性变幻也构成线性空间，还多2种运算(复合乘法、求逆)）<ε>=<η>Trans，M_ε=Trans^TM_ηTrans

线性函数的定义：V →P，f(v)=f(<ε>x)=a^Tx=Σλ_ix_i。对偶空间的构造：f_i(ε_i)=1 & f_i(ε_j)=0（对偶基）；x**(f*) = f*(x)。<ε>=<η>Trans，=Trans^T^-1

双线性函数的定义：V*V →P，f(u,v)=f(<ε>x,<ε>y)=x^TAy=Σλ_ijx_iy_j。λ_i：f(ε_i)；λ_ij：f(ε_i,ε_j)。

欧几里得空间【定义在ℝ上】的正交变幻

内积：交换、双线性、正定（长度：√(内积)）（柯西不等式）

单位长度、正交基：施密特正交化

拓展线性空间，讨论同构、子空间。正交补，是直和补的特殊情形（唯一）。子空间正交时距离最小（最小二乘法）。

正交变幻，内积不变。（充要条件：标准正交基保持标准正交，长度不变(2ab=(a+b)(a+b)-aa-bb)，正交矩阵:={M|M^-1==M^T}）

一些证明的角度

对称矩阵必然合同于Diag(1,...,0,...)：归纳

正定的充要条件是顺序主子行列式均大于0：=>正定的语义；<=归纳

合同变换(C)秩和(R)正惯性系数的唯一性：分解成初等矩阵，反证/同一

维数公式（dim(V_1) + dim(V_2) = dim(V_1+V_2) + dim(V_1∩V_2)）、值域与核的秩的关系：最原始的【（极大）线性无关 向量组】。这类向量组的证明题中，(列)向量是一个整体（V的一般元素），不能拆成分量。

直和的充要条件：最终都还原到直和的定义中的【唯一性】，而基确定时，系数就唯一确定；因此还是用最原始的【（极大）线性无关 向量组】