数学建模：智能优化算法及其python实现

智能优化算法简介

优化问题是指在满足一定条件下，在众多方案或参数值中寻找最优方案或参数值，以使得某个或多个功能指标达到最优，或使系统的某些性能指标达到最大值或最小值。优化问题广泛地存在于信号处理、图像处理、生产调度、任务分配、模式识别、自动控制和机械设计等众多领域。优化方法是一种以数学为基础，用于求解各种优化问题的应用技术。各种优化方法在上述领域得到了广泛应用，并且已经产生了巨大的经济效益和社会效益。实践证明，通过优化方法，能够提高系统效率，降低能耗，合理地利用资源，并且随着处理对象规模的增加，这种效果也会更加明显。
在电子、通信、计算机、自动化、机器人、经济学和管理学等众多学科中，不断地出现了许多复杂的组合优化问题。面对这些大型的优化问题，传统的优化方法（如牛顿法、单纯形法等）需要遍历整个搜索空间，无法在短时间内完成搜索，且容易产生搜索的“组合爆炸”。例如，许多工程优化问题，往往需要在复杂而庞大的搜索空间中寻找最优解或者准最优解。鉴于实际工程问题的复杂性、非线性、约束性以及建模困难等诸多特点，寻求高效的优化算法已成为相关学科的主要研究内容之一。
受到人类智能、生物群体社会性或自然现象规律的启发，人们发明了很多智能优化算法来解决上述复杂优化问题，主要包括：模仿自然界生物进化机制的遗传算法；通过群体内个体间的合作与竞争来优化搜索的差分进化算法；模拟生物免疫系统学习和认知功能的免疫算法；模拟蚂蚁集体寻径行为的蚁群算法；模拟鸟群和鱼群群体行为的粒子群算法；源于固体物质退火过程的模拟退火算法；模拟人类智力记忆过程的禁忌搜索算法；模拟动物神经网络行为特征的神经网络算法；等等。这些算法有个共同点，即都是通过模拟或揭示某些自然界的现象和过程或生物群体的智能行为而得到发展；在优化领域称它们为智能优化算法，它们具有简单、通用、便于并行处理等特点。
基于scikit-opt库的python实现：

# 安装
pip install scikit-opt

差分进化算法（Differential Evolution，DE）

差分进化算法（Differential Evolution，DE）是一种新兴的进化计算技术。它由Storn等人于1995年提出，其最初的设想是用于解决切比雪夫多项式问题，后来发现差分进化算法也是解决复杂优化问题的有效技术。
差分进化算法是基于群体智能理论的优化算法，是通过群体内个体间的合作与竞争产生的智能优化搜索。但相比于进化计算，差分进化算法保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的简单变异操作和“一对一”的竞争生存策略，降低了进化计算的复杂性。同时，差分进化算法特有的记忆能力使它可以动态跟踪当前的搜索情况，以调整其搜索策略，它具有较强的全局收敛能力和稳健性，且不需要借助问题的特征信息，适用于求解一些利用常规的数学规划方法很难求解甚至无法求解的复杂优化问题。

线性/非线性规划问题：

'''
min f(x1, x2, x3) = x1^2 + x2^2 + x3^2
s.t.
    x1*x2 >= 1
    x1*x2 <= 5
    x2 + x3 = 1
    0 <= x1, x2, x3 <= 5
'''

def obj_func(p):
    x1, x2, x3 = p
    return x1 ** 2 + x2 ** 2 + x3 ** 2

constraint_eq = [
    lambda x: 1 - x[1] - x[2]
]
constraint_ueq = [
    lambda x: 1 - x[0] * x[1],
    lambda x: x[0] * x[1] - 5
]

from sko.DE import DE

de = DE(func=obj_func, n_dim=3, size_pop=50, max_iter=800, lb=[0, 0, 0], ub=[5, 5, 5],
        constraint_eq=constraint_eq, constraint_ueq=constraint_ueq)

best_x, best_y = de.run()
print('best_x:', best_x, '\n', 'best_y:', best_y)

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的自适应全局优化搜索算法。它最早由美国的J. H. Holland教授提出，起源于20世纪60年代对自然和人工自适应系统的研究；70年代，K. A. De Jong基于遗传算法的思想，在计算机上进行了大量的纯数值函数优化计算试验；80年代，遗传算法由D. J. Goldberg在一系列研究工作的基础上归纳总结而成。
遗传算法是 通过模仿自然界生物进化机制而发展起来的随机全局搜索和优化方法。它借鉴了达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说，本质上是一种并行、高效、全局搜索的方法，它能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解。遗传算法操作：使用“适者生存”的原则，在潜在的解决方案种群中逐次产生一个近似最优的方案。在每一代中，根据个体在问题域中的适应度值和从自然遗传学中借鉴来的再造方法进行个体选择，产生一个新的近似解。这个过程导致种群中个体的进化，得到的新个体比原个体更能适应环境。

线性/非线性规划问题：

import numpy as np
def schaffer(p):
    '''
    This function has plenty of local minimum, with strong shocks
    global minimum at (0,0) with value