高等数学——傅里叶级数

扩展

来自一位学长:
傅里叶级数选择三角函数集,只是因为三角函数集一类特殊的正交函数集,其实还有很多其他的正交函数集。以下是学长附的图(我也没太看懂):
高等数学——傅里叶级数_第1张图片
高等数学——傅里叶级数_第2张图片
其实,我们完全可以用其他的完备正交函数集来拟合给定区间的给定函数,不过本科只涉及到三角函数。而且,我们关心的只是给定区间内的情况,区间外是不关心的,用三角函数作为正交基带来的副作用是:在给定区间外,三角级数把给定区间内的函数图像周期性地重复下去
除了我上面拍的这些,贝塞尔函数,勒让德多项式,切比雪夫多项式,拉盖尔多项式,埃尔米特多项式……都是给定区间上的正交函数集,不要把目光局限在三角函数上。而三角函数集,这是这些正交函数集中一个普通的例子。
高等数学——傅里叶级数_第3张图片
我们意识到:重点不是周期性(周期性是采用具有周期性的正交函数集引入的副作用),已经隐隐的要发现正交性的作用了。

问题

问:能展开为傅里叶级数的函数必须是周期函数吗?

答:
分清Fourier级数与Fourier变换之间的区别。
对于定义域为负无穷到正无穷的函数,只有周期函数才能展开成Fourier级数。Fourier级数可以看成是Fourier变换的一种离散的形式。对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数,其经过Fourier变换后频谱是连续谱,而只有周期函数其频谱才是离散谱,这相当于周期函数只是由可列个谐波叠加而成的,而不需要其它频率的正弦波。因此,当定义域是负无穷到正无穷的时候,只有周期函数才能展开成傅里叶级数的形式。
但是,通常我们研究的实际问题的定义域一般是有限长度的,对于这种问题,我们可以对其进行周期延拓,将有限长度上的函数延拓成定义域为负无穷到正无穷的周期函数。经过延拓之后的函数,是可以展开成Fourier级数的。

参考资料:

百度知道:能展开为傅里叶级数的函数必须是周期函数吗

追问:求解系数的时候并没有用到周期,那待展开为傅里叶级数的函数不是可以没有周期吗?
答:求解过程如下:
在这里插入图片描述
高等数学——傅里叶级数_第4张图片
此求解过程中an, bn只用到了一个周期的数据,所以,如果该函数没有周期,那么,求出来的系数在其他区间可能不成立。

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