Ref：
- https://web.stanford.edu/~jurafsky/slp3/A.pdf
- https://en.wikipedia.org/wiki/Hidden_Markov_model
文中的例子和符号基本来自Ref[1]
基本概念：
Markov chain：随机变量组成的序列，下一个序列状态仅和当前状态有关，而和过去的状态无关。好比预测明天的天气，仅考虑今天的气候，而不用管昨天或以前的天气情况。
Markov chain有助于计算可观测序列状态的概率，但很多时候，我们还关心那些无法直接观测到的状态序列。好比文本序列的pos tags，我们阅读文字，然后再判断这个文字是动词，名词还是其他，这些不可直接观测的状态，又称为隐藏状态（hidden state），HMM就是来帮助处理这种情况的。
Hidden Markov Model：有两种随机状态序列，一种状态可观测，另一种状态不可直接观测，这个不可观测的序列（下文用隐藏序列）服从Markov chain，且观测序列依赖隐藏序列，HMM希望通过这些观测序列来学习隐藏序列。
数学表达：
Y：可观测状态序列，下文的O
X：隐藏状态序列，hidden state，下文的Q
假设：Y依赖X，在每个时间t， 仅依赖 ，和, 无关，HMM的状态之间的时序变化如下图：
概念
- Markov assumption
对隐藏序列（对应上图的X），有 - Transition probability matrix
状态转移矩阵，
表示从隐藏状态i转移到隐藏状态j的概率， - Initial probability distribution
初始概率分布，，表示隐藏序列从哪个状态开始；
，注意，有些状态可能为0； - 观测序列T
- Emission probability
发射概率， ，表示隐藏状态为i时，对应的观测状态为t的概率。
HMM:
2个假设：
- Markov assumption： 隐藏状态i只和上一个隐藏状态i-1有关，
- 观测状态仅依赖于当时的隐层状态，而和之前的观测状态or之前的隐层状态无关：
HMM可以看成3个问题：
- Likelihood：已知观测序列O，参数 ，计算likelihood ；
- Decoding：已知观测序列O，参数 ，找到最佳的隐藏序列Q，用Viterbi；
- Learning：已知观测序列O，一系列的HMM状态，学习参数 ，用EM。
案例分析：吃冰淇淋与气温的关系，如下图：
1. Likelihood computation：Forward algorithm
动态规划算法，计算观测的概率。
即，知道了一条观测序列，所有可能的隐藏序列，观测和隐藏序列之间的关系（转移概率A和发射概率B），初始隐藏序列的概率分布（π），求这个观测序列的likelihood。
输入：观测序列O，模型参数
输出：
案例分析
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- 2种气候状态（不可观测）：HOT，COLD，对应的初始概率为0.8，0.2，即热天的概率为0.8，气温变冷的概率为0.2，从HOT转到HOT的概率为0.6，HOT转到COLD的概率为0.4，反之0.5，COLD转到COLD的概率为0.5；
- 观测状态：Jason可能吃的冰淇淋数量，O = {1,2,3}。
- 观测序列：吃了冰淇淋数量为[3,1,3]；
- 气候序列：[hot,hot,cold]；
- 冰淇淋数量O和气温高低的关系： ， ，
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计算条件概率 or likelihood：
但是实际上，我们并不知道真正的气候序列是怎样的，因此还要考虑实际的气候序列（即隐藏序列）：
因此，给定一条观测序列和一条隐藏序列的联合概率为：
而所有可能的隐藏序列对应的所有观测序列的总概率为：
如果有N个隐藏状态和T个观测序列，则可能有个可能的隐藏序列。
太大，因此无法分别计算每一个隐藏状态(N)下的观测(T)的likelihood。因此，使用Forward algorithm。
算法
输入：观测状态序列长度为T，隐藏状态N
设，previous forward path probability：
则，在第t个状态下，隐藏状态为j的所有可能路径概率和：
步骤：
- 初始化：, given
- 迭代：, given
- 终止：
案例分析
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如上图， ，在时间t为2时，处于状态2，产生的观测序列为[3,1]，有两条路径通向这个点，分别为:
代码
def forward(obs,states, start_p, emission_p,trans_p):
"""
obs = ('ice_3','ice_1','ice_3')
states = ('HOT','COLD')
start_p = {'HOT':0.8,'COLD':0.2}
emission_p = {'HOT':{'ice_1':0.2,'ice_2':0.4,'ice_3':0.4},
'COLD':{'ice_1':0.5,'ice_2':0.4,'ice_3':0.1}}
trans_p = {'HOT': {'HOT':0.6,'COLD':0.4},
'COLD': {'HOT':0.5,'COLD':0.5}}
"""
fwd = [{}]
for state in states:
fwd[0][state] = start_p[state] * emission_p[state][obs[0]]
for t in range(1,len(obs)):
fwd.append({})
for state in states:
fwd[t][state] = sum((fwd[t-1][s]*trans_p[s][state]*emission_p[state][obs[t]]) for s in states)
prob = sum(fwd[len(obs)-1][s] for s in states)
return prob
2. Decoding：Viterbi algorithm
给定观测序列O，参数 ，找到最佳的隐藏状态序列Q，也就是找到最大的likelihood。一般来说，可以通过forward algorithm来计算某个隐藏状态序列下的观测序列的likelihood，然后再选择likelihood最大的那条隐藏序列。
简而言之，就是每个时间步下，都选择最大的likelihood。
但是，正如之前提到的，序列状态多种多样，因此使用Viterbi algorithm。同前向算法，它也是个动态规划问题。
算法
输入：观测状态序列长度为T，隐藏状态N，构造一条viterbi路径概率矩阵[N,T]
输出：最佳路径，路径概率
设，上一个时间步的Viterbi路径概率previous Viterbi path probability:
则，时间步t时，隐藏状态为j的Viterbi值为：
步骤：
- 初始化：
对: , - 迭代：
对 :
- 终止：
best score:
start of backtrace:
案例分析
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如上图，对观测序列[3,1,3]，可能存在的隐藏序列路径为：
START->H->H->H, START->H->C>H, START->H->C>C, START->H->H>C
SATRT ->C->C>C, START->C->H>C, START->C->H>J, START->C->C>H
Step t=1 时，观测状态为3，最大概率为0.32，最可能的路径为START->H；
Step t=2 时，观测状态为1，最大概率为0.064，最可能的路径为START->H->C；
Step t=3 时，观测状态为3，最大概率为0.0128，最可能的路径为START->H->C>H。
因此，viterbi的输出为：0.0128，START->H->C>H。
同时，viterbi还可以追溯，即H->C->H->START，如图上蓝色箭头。
代码
def viterbi(obs, states, start_p, emission_p, trans_p):
V = [{}]
path = {}
# 建立t0时刻个状态概率
for state in states:
V[0][state] = start_p[state] * emission_p[state][obs[0]]
path[state] = [state]
# 沿着时间1, 2..t进行计算
for t in range(1, len(obs)):
V.append({})
newpath = {}
# 根据t-1时刻状态概率，观测概率矩阵和转移概率矩阵计算t时刻最大概率转态 记录路径
for state in states:
# 看前一个状态中, 那个状态转移到当前状态并且当前状态喷射出当前观测值的概率大， 谁大谁就做前一个状态
(prob, next_state) = max([(V[t-1][s] * trans_p[s][state] * emission_p[state][obs[t]], s) for s in states])
V[t][state] = prob
newpath[state] = path[next_state] + [state] # state状态概率最大: 前一个状态 和 当前能喷射出最大概率的状态
# print(V)
# print(newpath)
path = newpath
# 最后结果：
# (0.0128, ['HOT', 'COLD', 'HOT'])
(prob, next_state) = max([(V[len(obs) - 1][s], s) for s in states])
return (prob, path[next_state])
3. Learning：EM algorithm
已知观测序列集O，一系列的HMM状态，学习参数A,B。
注意，这里的观测序列是无标签的，也就是说，我们知道有哪些观测值，但是观测值的排列未知。同样的，隐藏状态已知，分布未知。
因此，对于前文提到的案例，我们的观测序列，即吃的冰淇淋数量可能为：，以及知道存在的隐藏状态为{HOT,COLD}。但不知道状态转移概率A和发射概率B。
EM（expectation-Maximization）algorithm：学习HMM的参数A和B。
EM是一种迭代算法，计算初始概率估计，然后使用这个估计去计算更好的估计，然后继续根据这个估计再计算更好的估计。
案例分析
假如我们已经知道某几天的气温以及冰淇淋的数量了，也就是说，已知：
ice cream count: temperature：
- 3->hot, 3->hot, 2->cold
- 1->cold, 1->cold, 2->cold
- 1->cold, 2->hot, 3->hot
则，初步判断气温冷热的初始化概率分布为：
然后，计算状态转移矩阵A：
发射概率B：
如果我们并不清楚冷热气温背后的冰淇淋数量呢？
Forward-backward or Baum-Welch，EM中的一种特例算法，可以不断迭代来计算冰淇淋的数量。
Baum-Welch 算法
设，时间t状态为i时，backward probability：
则，
步骤：
- 初始化：,
- 迭代：对,
- 终止：
数学推理
估计转移概率
(从状态i转移到状态j的期望次数)/( 从状态i转移出去的期望次数)
其中，分子可用联合概率表示：
因为： 且
所以：
估计发射概率
(隐藏状态为j时观测为k的期望次数)/(隐藏状态为j的期望次数)
首先，要知道在时间步t时，状态为j的概率：
因此：
其中：
：对所有的时间步t，观测到的状态为k的总和。
EM算法
已经知道转移概率和发射概率的估计方式，通过EM算法来求解HMM的A和B吧。
输入：观测状态，序列长度为T，隐藏状态集Q
输出：HMM的
步骤：
初始化：
-
迭代直至收敛
E-step：根据 ，计算期望
M-step：根据期望，进行最大值估计，重新估计参数
返回估计的参数。
EM算法的初始化很重要，设置的不好，收敛不好。一般在实际应用时候，会根据经验，手动初始化。
补充
知识点
- HMM的参数：初始概率，转移概率矩阵A，发射概率B
- 如果参数已知，还知道观测序列，隐藏序列：
求某个时间步下观测序列的likelihood，用forward算法；
求某个时间步下观测序列对应的最可能的隐藏序列，用Viterbi算法； - 如果参数未知，就EM走起。
Viterbi 算法和Foward 算法异同：
- Viterbi计算的最可能的路径，求的是max，输出最可能的路径和得分；而Foward计算的likelihood，求的是sum；
- Viterbi还多了个backpointers（Viterbi模块图示的蓝色箭头）。