第一章-第二节-极限

考试概要

一、极限的概念

1、数列极限的概念

（1）ε是用来限制，数列极限与常数的接近程度的，N是表示数列N项以后的极限。

（2）几何意义是，任取N的ε邻域内，都找到N，在其以后的所有项的值都落在A的ε领域里面。

（3）极限与前有限项无关，在利用单调有界准则的时候，可以取后面的项单调有界的规律来求数列极限。

（4）数列极限存在，可以推导部分列极限存在。奇偶列存在并且相等才能推导出数列极限存在。

2、函数极限

2.1、当自变量趋向于无穷大的时候

2.2、自变量趋向于有限值的极限

（1）ε是用来逼近函数值和常数的接近程度，δ用来描述是在x0的去心邻域内

（2）几何意义，在任意A的领域内，都可以找到x0的领域内都落在A的领域内。

（3）极限的要求：x -> x0，但x不能等于x0

需要分左右极限的三种情况

二、极限的性质

1、有界性

N项以后都落在A的领域内，N项以前是有限项，有限项一定有最大最小值，所以{xn}一定有界。

收敛一定有界，有界不一定收敛。

函数极限，只能管该点领域内的值。

极限存在 -> 局部有界。局部有界不能推导极限存在。

2、保号性数列的保号性：

极限值保数列是严格大于，数列值保极限值是大于等于。

函数极限的保号性：

和数列极限的保号性类似，数列保的是当N充分大，函数极限保的是在x0的去心邻域内。

3、极限值与无穷小的关系

三、极限的存在准则

1）夹逼准则

n项和求极限使用夹逼准则。

2）单调有界准则（数列极限）

在求递推关系的数列时候，需要证明单调有界，极限存在。

四、无穷小

1）无穷小的概念

2）无穷小的比较

3）无穷小量的性质

五、无穷大

1）无穷大量的概念

2）无穷大量的比较

3）无穷大量的性质

4）无穷大量和无界变量的关系

常见题型

题型一、极限的概念性质和存在准则（选择题）

题型二、求极限

方法一、利用基本极限求极限

方法二、利用等价无穷小进行替换

方法三、利用有理运算法则求极限

常用结论

在求极限当中，非0常数因子可以先求出来。
1、分母趋向于0，分子也趋向于0。

2、分子趋向于0，极限非0，分母也趋向于0。

证明采用极限的有理运算法则。

方法四、利用洛必达法则求极限

方法五、利用泰勒公式求极限（皮亚诺余项求极限）

方法六、利用夹逼原理求极限

方法七、利用单调有界准则求极限

题型三、无穷小量阶的比较