【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布（3，二维随机变量函数的分布）

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七、二维随机变量函数的分布

7.1 二维随机变量函数分布的基本情形

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，以 $X,Y$ 为变量所构成的二元函数 $Z=\phi (X,Y)$ ，称为随机变量 $(X,Y)$ 的函数，其分布一般有如下几种情形：

$(X,Y)$ 为二维离散型随机变量

设 $(X,Y)$ 联合分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$ ，则 $Z=\phi (X,Y)$ 的分布律如下：$$Z\sim \left(\begin{array}{ccccc}\phi (x_1,y_1)& \phi (x_1,y_2)& \cdots & \phi (x_m,y_1)& \cdots \\ p_{11}& p_{12}& \cdots & p_{m1}& \cdots \end{array}\right),$$ 相同的取值需要合并。

$(X,Y)$ 为二维连续型随机变量

设 $(X,Y)$ 联合密度函数为 $f(x,y)$ 。

（1）当 $Z=\phi (X,Y)$ 为离散型时

求出 $Z$ 的所有可能取值，再求出其对应的概率。

（2）当 $Z=\phi (X,Y)$ 为连续型时

首先计算 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)=P\{Z\le z\}={\iint }_{\phi (x,y)\le z}f(x,y)dxdy$ ，那么 $Z$ 的密度函数为：$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}{F}_Z^{\prime }(z),& z为可导点\\ 0,& z为不可导点\end{array}$$

$X$ 为离散型变量，$Y$ 为连续型变量

给出 $X$ 的分布律，$Y$ 的概率密度，求 $Z=\phi (X,Y)$ 的分布时，一般用全概率公式。

若 $X\sim \left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\\ p_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right),$ $Y$ 的边缘密度为 $f_Y(y)$ ，则有 $$F_Z(z)=P\{\phi (X,Y)\le z\}=P\{X=x_1,\phi (x_1,Y)\le z\}+P\{X=x_2,\phi (x_2,Y)\le z\}$$ $$+\cdots +P\{X=x_n,\phi (x_n,Y)\le z\}.$$

7.2 常见二维随机变量的函数及其分布

$Z=\min \{X,Y\}$ 的分布

$F_Z(z)=P\{Z\le z\}=1-P\{Z>z\}=P\{X>z,Y>z\}=1-{\iint }_{x>z,y>z}f(u,v)dudv$ ，特别地，当 $X,Y$ 相互独立时，有 $F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$ 。

这个变换还是比较巧妙的，同样这也提示我们，对于这类求最大最小的分布，可以去做类似处理。

$Z=\max \{X,Y\}$ 的分布

$F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\}={\int }_{-\infty }^{z}dx{\int }_{-\infty }^{z}f(x,y)dy$ ，特别地，当 $X,Y$ 独立时，有 $F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z).$

$Z=X+Y$ 的分布

$F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}={\iint }_{x+y\le z}f(x,y)dxdy.$

$Z=XY$ 的分布

$Z=\frac{Y}{X}$ 的分布

下面给出一些常见的二维随机变量的函数分布：

设 $X,Y$ 独立，则：

（1）若 $X\sim B(m,p),Y\sim B(n,p)$ ，则 $X+Y\sim B(m+n,p).$

（2）若 $X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2)$ ，则 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2).$

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写在最后

那到此，二维随机变量的理论内容就结束啦，掌握一维随机变量，再加上高数的二重积分的基础，这一章应该就问题不大。