高等数学笔记：三重积分下的坐标系变换
繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
三重积分下的坐标系变换
一、柱面坐标系下的计算
01 柱面坐标的变量代换
这个坐标系实际上就是 x y xy xy 坐标转变为极坐标，即变换公式为 { x = r cos θ y = r sin θ z = z \left\{\begin{array}{c}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z\end{array}\right. ⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθz=z
由于雅可比行列式满足：
∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = ∣ cos θ sin θ 0 − r sin θ r cos θ 0 0 0 1 ∣ = r \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -r \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=r ∂(r,θ,z)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣cosθ−rsinθ0sinθrcosθ0001∣∣∣∣∣∣=r
得到柱面坐标积分公式：
∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∭ Ω f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d r d θ d z \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∭f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
注意，事实上，在具体计算时，可以用柱线法或截面法得到 D D D ( 或 D z D_z Dz ) 的二重积分，再转化为极坐标。
02 柱面坐标的投影法分析
若被积函数含有 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 或立体 V V V 在 x O y xOy xOy 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。
令 { x = r cos θ y = r sin θ z = z \begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ，称为柱面坐标变换，其本质为平面上的极坐标变换。
下面用投影法推导分析：
设 立 体 V : z 1 ( x , y ) ⩽ z ⩽ z 1 ( x , y ) ( x , y ) ∈ σ ∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∬ σ [ ∫ z 1 ( x , y ) z 1 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z ] d x d y 对 此 二 重 积 分 进 行 极 坐 标 变 换 ， 所 谓 的 柱 面 坐 标 变 换 ， 本 质 就 是 平 面 极 坐 标 变 换 x = r cos θ , y = r sin θ 若 σ 为 θ 型 区 域 ， 则 σ : r 1 ( θ ) ⩽ r ⩽ r 2 ( θ ) α ⩽ θ ⩽ β 原 三 重 积 分 = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) [ ∫ z 1 ( r cos θ , r sin θ ) z 2 ( r cos θ , r sin θ ) f ( r cos θ , r sin θ , z ) ] r d r = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) r d r ∫ z 1 ( r cos θ , r sin θ ) z 2 ( r cos θ , r sin θ ) f ( r cos θ , r sin θ , z ) d z \begin{aligned} & 设立体V:z_1(x,y)\leqslant z\leqslant z_1(x,y)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma\\ & \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iint \limits_{\sigma} [\ \int _{z_1(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz\ ] dxdy\\ & 对此二重积分进行极坐标变换，\\ & 所谓的柱面坐标变换，本质就是平面极坐标变换\\ & x=r\cos\theta \ , \ y=r\sin\theta\\ & 若\ \sigma\ 为\ \theta\ 型区域，则\ \sigma\ : \ r_1(\theta)\leqslant r\leqslant r_2(\theta)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\\ & 原三重积分=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}[\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ ]\ rdr\\ & \quad\quad\quad\quad\ =\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ dz\\ \end{aligned} 设立体V:z1(x,y)⩽z⩽z1(x,y)(x,y)∈σΩ∭f(x,y,z)dV=σ∬[ ∫z1(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz ]dxdy对此二重积分进行极坐标变换，所谓的柱面坐标变换，本质就是平面极坐标变换x=rcosθ , y=rsinθ若 σ 为 θ 型区域，则 σ : r1(θ)⩽r⩽r2(θ) α⩽θ⩽β原三重积分=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)[∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) ] rdr =∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)rdr∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) dz
03 柱面坐标变换总结
若 ∭ V f ( x , y , z ) d V \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V V∭f(x,y,z)dV 存在，被积函数含有 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 或立体 V V V 在 x O y xOy xOy 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分（一般是圆周和直线围成的区域）。那么，令 { x = r cos θ y = r sin θ z = z \begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ，且立体 V V V 为 x y xy xy 型区域，
则立体 V V V 可表示为 V = { ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ⩽ z ⩽ z 2 ( x ) , ( x , y ) ∈ σ x y } V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\} V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x) , (x,y)∈σxy} ，
然后将 σ \sigma σ 写成 θ \theta θ 型区域 σ = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ⩽ r ⩽ r 2 ( θ ) , α ⩽ θ ⩽ β } \sigma=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta \right\} σ={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}。
下曲面 z = z 1 ( x , y ) = z 1 ( r cos θ , r sin θ ) z=z_1(x,y)=z_1(r\cos\theta,r\sin\theta) z=z1(x,y)=z1(rcosθ,rsinθ)，上曲面 z = z 2 ( x , y ) = z 2 ( r cos θ , r sin θ ) z=z_2(x,y)=z_2(r\cos\theta,r\sin\theta) z=z2(x,y)=z2(rcosθ,rsinθ)，
则 ∭ V f ( x , y , z ) d V = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) d r ∫ z 1 ( r cos θ , r sin θ ) z 2 ( r cos θ , r sin θ ) f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d z \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}dr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ r \ dz V∭f(x,y,z)dV=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)dr∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) r dz 。
若被积函数中含 y 2 + z 2 y^2+z^2 y2+z2 或立体 V V V 在 y O z yOz yOz 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。
那么，令 { y = r cos θ z = r sin θ x = x \begin{cases}\ y\ =\ r\cos\theta \\ \ z\ =\ r\sin\theta \\ \ x\ =\ \ \ \ x\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ y = rcosθ z = rsinθ x = x ，同理可推导类似结论。
二、球面坐标系下的计算
01 球面坐标的变量代换
设点 M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z) 是空间一点，引进坐标 ( ρ , φ , θ ) (\rho, \varphi, \theta) (ρ,φ,θ)
ρ = ∥ O M → ∥ \rho=\|\overrightarrow{O M}\| ρ=∥OM∥， φ : O M → \varphi: \overrightarrow{O M} φ:OM 与z轴正向的夹角， θ : O P → \theta: \overrightarrow{O P} θ:OP 与 x x x 轴正向的夹角，
且 ρ \rho ρ， φ \varphi φ， θ \theta θ 满足 0 ⩽ ρ ⩽ + ∞ , 0 ⩽ φ ⩽ π , 0 ⩽ θ ⩽ 2 π 或 − π ⩽ θ ⩽ π 0 \leqslant \rho \leqslant+\infty\ \ ,\ \ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi\ \ ,\ \ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\ 或-\pi\leqslant\theta\leqslant\pi 0⩽ρ⩽+∞ , 0⩽φ⩽π , 0⩽θ⩽2π 或−π⩽θ⩽π 。
坐标变换关系式 ⟹ { x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ \quad\Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{c} x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}\right. ⟹ ⎩⎨⎧x=ρsinφcosθy=ρsinφsinθz=ρcosφ
这样建立的坐标系称为球面坐标系，得到的坐标 ( ρ , φ , θ ) (\rho, \varphi, \theta) (ρ,φ,θ) 称为 M M M 的球面坐标。
由 于 雅 可 比 行 列 式 ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = ∣ sin φ cos θ sin φ sin θ cos φ ρ cos φ cos θ ρ cos φ sin θ − ρ sin φ − ρ sin φ sin θ ρ sin φ cos θ 0 ∣ = ρ 2 sin φ 导 出 ∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∭ Ω ∗ f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ 2 sin φ d ρ d φ d θ \begin{aligned} & 由于雅可比行列式\ \ \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)} =\left|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & \sin \varphi \sin \theta & \cos \varphi \\ \rho \cos \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & -\rho \sin \varphi \\ -\rho \sin \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta & 0 \end{array}\right| =\rho^{2} \sin \varphi\\ & 导出\ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V =\iiint \limits_{\Omega^{*}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \end{aligned} 由于雅可比行列式 ∂(ρ,φ,θ)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣sinφcosθρcosφcosθ−ρsinφsinθsinφsinθρcosφsinθρsinφcosθcosφ−ρsinφ0∣∣∣∣∣∣=ρ2sinφ导出 Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∗∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ
使用球坐标时， ρ = \rho= ρ= 常数:球面， φ = \varphi= φ= 常数: 锥面， θ = \theta= θ= 常数: 平面，
且球面和锥面的中心在原点，平面过 z z z 轴。
注意，围成区域的部分曲面有上述特点，或被积函数含 x 2 + y 2 + z 2 x^{2}+y^{2}+z^{2} x2+y2+z2，可考虑用球坐标。
02 球面坐标的二次柱面变换分析
若 ∭ V f ( x , y , z ) d V \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V V∭f(x,y,z)dV 存在，被积函数含有 x 2 + y 2 + z 2 x^2+y^2+z^2 x2+y2+z2 或立体 V V V 是球体或者球体的一部分。
采用一组变换，首先，令 { x = r cos θ y = r sin θ z = z \begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ，则 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 + z 2 x^2+y^2+z^2=r^2+z^2 x2+y2+z2=r2+z2（看成 r , θ , z r\ ,\ \theta\ ,\ z r , θ , z 函数）
然后，令 { r = ρ sin φ z = ρ cos φ θ = θ \begin{cases}\ r\ =\rho\sin\varphi \\ \ z\ =\rho\cos\varphi \\ \ \theta\ =\ \ \ \ \theta\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ r =ρsinφ z =ρcosφ θ = θ ，则 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 + z 2 = ρ 2 x^2+y^2+z^2=r^2+z^2=\rho^2 x2+y2+z2=r2+z2=ρ2 。
综上可以看作一次变换，令 { x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ \begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ ，称为球面坐标变换，此时， x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 x^2+y^2+z^2=\rho^2 x2+y2+z2=ρ2 。
这样建立的坐标系称为球面坐标系，得到的坐标 ( ρ , φ , θ ) (\rho, \varphi, \theta) (ρ,φ,θ) 称为 M M M 的球面坐标。
03 球面坐标系与球面坐标
球面坐标系与球面坐标一种记忆模式：
由 { x = r cos θ y = r sin θ r = ρ sin φ z = ρ cos φ \begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ r\ =\ \rho\sin\varphi \\ \ z\ =\ \rho\cos\varphi\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ r = ρsinφ z = ρcosφ 有 { x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ \begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ 称为球面坐标变换。
x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = ρ 且 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ⇒ ρ = R x^2+y^2+z^2=\rho^2\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\rho\ 且 \ x^2+y^2+z^2=R^2 \ \ \Rightarrow\ \ \rho=R x2+y2+z2=ρ2 ⇒ x2+y2+z2=ρ 且 x2+y2+z2=R2 ⇒ ρ=R
球面坐标系与球面坐标代换总结：
若被积函数含有 x 2 + y 2 + z 2 x^2+y^2+z^2 x2+y2+z2 或立体 V V V 是球体或者球体的一部分，
一般是球面与锥面或球面与平面或锥面与平面围成的立体，用球面坐标变换。
04 球面坐标系下三个最简单的方程表示的曲面
( 1 ) ρ = R ( R ⩾ 0 ， 常 数 ) 表 示 以 O 点 为 心 ， R 为 半 径 的 球 面 ⇔ ρ 2 = R 2 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( 2 ) φ = φ 0 ( 0 ⩽ φ 0 ⩽ π ， 常 数 ) 表 示 一 个 半 锥 面 ， O z 轴 正 向 与 锥 面 母 线 的 夹 角 为 φ 0 该 方 程 转 化 为 空 间 直 角 坐 标 系 为 : x 2 + y 2 − z 2 tan 2 φ 0 = 0 ( 3 ) θ = θ 0 ( 0 ⩽ θ ⩽ 2 π 或 − π ⩽ θ ⩽ π ， 常 数 ) 表 示 y O z 右 半 平 面 该 方 程 转 化 为 空 间 直 角 坐 标 系 为 : θ = π 2 \begin{aligned} & (1)\ \rho=R\ \ (R\geqslant0，常数)\ 表示以\ O\ 点为心，\ R\ 为半径的球面 \ \Leftrightarrow\ \rho^2=R^2 \ \Leftrightarrow\ x^2+y^2+z^2=R^2 \\ & (2)\ \varphi=\varphi_0\ \ (0\leqslant\varphi_0\leqslant\pi，常数)\ 表示一个半锥面， Oz轴正向与锥面母线的夹角为\varphi_0\\ & \quad\quad该方程转化为空间直角坐标系为:x^2+y^2-z^2\tan^2\varphi_0=0\\ & (3)\ \theta=\theta_0\ \ (0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\ 或-\pi\leqslant\theta\leqslant\pi，常数)\ 表示\ yOz\ 右半平面 \\ & \quad\quad该方程转化为空间直角坐标系为:\theta=\frac{\pi}{2}\\ \end{aligned} (1) ρ=R (R⩾0，常数) 表示以 O 点为心， R 为半径的球面 ⇔ ρ2=R2 ⇔ x2+y2+z2=R2(2) φ=φ0 (0⩽φ0⩽π，常数) 表示一个半锥面，Oz轴正向与锥面母线的夹角为φ0该方程转化为空间直角坐标系为:x2+y2−z2tan2φ0=0(3) θ=θ0 (0⩽θ⩽2π 或−π⩽θ⩽π，常数) 表示 yOz 右半平面该方程转化为空间直角坐标系为:θ=2π
05 球面坐标变换下的三重积分
在 ∭ V f ( x , y , z ) d V \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V V∭f(x,y,z)dV 中，用球面坐标变换 { x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ \begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ ，核心：寻找 d V dV dV 和 d θ d φ d ρ d\theta\ d\varphi\ d\rho dθ dφ dρ 的关系。
本质：对三重积分式进行两次柱面坐标积分变换。
第一次变换，令 { x = r cos θ y = r sin θ z = z \begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ，则 ∭ V f ( x , y , z ) d V = ∭ V r θ z f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d θ d r d z \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{r\theta z}} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z)r\ d\theta\ dr\ dz V∭f(x,y,z)dV=Vrθz∭f(rcosθ,rsinθ,z)r dθ dr dz 。
第二次变换，令 { r = ρ sin φ z = ρ cos φ θ = θ \begin{cases}\ r\ =\rho\sin\varphi \\ \ z\ =\rho\cos\varphi \\ \ \theta\ =\ \ \ \ \theta\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ r =ρsinφ z =ρcosφ θ = θ ，则 ∭ V r θ z f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d θ d r d z = ∭ V θ φ ρ f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ sin φ ⋅ ρ d θ d φ d ρ \iiint \limits_{V_{r\theta z}} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z)r\ d\theta\ dr\ dz=\iiint \limits_{V_{\theta\varphi\rho}} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho\sin\varphi\cdot \rho\ d\theta\ d\varphi\ d\rho Vrθz∭f(rcosθ,rsinθ,z)r dθ dr dz=Vθφρ∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρsinφ⋅ρ dθ dφ dρ 。
综上，经过球面坐标变换， ∭ V f ( x , y , z ) d V = ∭ V θ φ ρ f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ 2 sin φ d θ d φ d ρ \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{\theta\varphi\rho}} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi\ d\theta\ d\varphi\ d\rho V∭f(x,y,z)dV=Vθφρ∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφ dθ dφ dρ 。
要求上述积分化成球面坐标下的累次积分，先积 ρ \rho ρ，其次积 φ \varphi φ，最后积 θ \theta θ 。
即对 ∀ M ( ρ , φ , θ ) ∈ V \forall M(\rho,\varphi,\theta)\in V ∀M(ρ,φ,θ)∈V，将坐标用不等式表示， V : ρ 1 ( θ , φ ) ⩽ ρ ⩽ ρ 2 ( θ , φ ) φ 1 ( θ ) ⩽ z ⩽ φ 2 ( θ ) α ⩽ θ ⩽ β V:\rho_1(\theta,\varphi)\leqslant\rho\leqslant\rho_2(\theta,\varphi)\\ \quad\ \ \varphi_1(\theta)\leqslant z\leqslant\varphi_2(\theta)\\ \quad\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta V:ρ1(θ,φ)⩽ρ⩽ρ2(θ,φ) φ1(θ)⩽z⩽φ2(θ) α⩽θ⩽β （累次积分变换的核心），
则三重积分 ∭ V f ( x , y , z ) d V = ∫ α β d θ ∫ φ 1 ( θ ) φ 2 ( θ ) φ d φ ∫ ρ 1 ( θ , φ ) ρ 1 ( θ , φ ) f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ 2 sin φ d ρ \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\varphi d\varphi \int_{\rho_1(\theta,\varphi)}^{\rho_1(\theta,\varphi)} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho V∭f(x,y,z)dV=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)φdφ∫ρ1(θ,φ)ρ1(θ,φ)f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρ .
接下来研究对于不等式表示的 θ \theta θ 区域、 φ \varphi φ 区域和 ρ \rho ρ 的取值如何确定。
对于 ∀ M ( ρ , φ , θ ) ∈ V \forall M(\rho,\varphi,\theta)\in V ∀M(ρ,φ,θ)∈V，先找出立体 V V V 在 x O y xOy xOy 平面上投影的的 σ \sigma σ 区域，将该 σ \sigma σ 区域处理成 θ \theta θ 区域。
找出 σ \sigma σ 在平面极坐标系下 θ \theta θ 的范围 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]，则 α ⩽ θ ⩽ β \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta α⩽θ⩽β 。
平面极坐标下的射线 θ = θ \theta=\theta θ=θ 与 O z Oz Oz 轴组成一个垂直于平面 x O y xOy xOy 的截面，记为平面 θ O z \theta Oz θOz 。
连接 O M ∈ θ O z OM\in \theta Oz OM∈θOz ， φ \varphi φ 的几何意义是由 O z Oz Oz 轴向 O M OM OM 旋转所得的夹角。
设射线 O N ON ON 最开始与 O z Oz Oz 轴重合， N ∈ θ O z N\in\theta Oz N∈θOz 恒成立，将射线 O N ON ON 从 O z Oz Oz 轴开始沿半平面 θ O z \theta Oz θOz 向 O M OM OM 旋转，
第一次接触立体 V V V 产生的交点，记此时的夹角 φ = φ 1 \varphi=\varphi_1 φ=φ1；最后离开立体 V V V 的交点，记此时的夹角 φ = φ 2 \varphi=\varphi_2 φ=φ2 。
显然有， φ 1 ⩽ φ ⩽ φ 2 \varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2 φ1⩽φ⩽φ2 。在多数题目情况下， φ 1 \varphi_1 φ1 为常数甚至为 0 0 0 。
于是，寻找清晰直观的平面进行研究，若 α ⩽ π 2 ⩽ β \alpha\leqslant\frac{\pi}{2}\leqslant\beta α⩽2π⩽β， θ = π 2 \theta=\frac{\pi}{2} θ=2π（ y O z yOz yOz 右半平面）与立体的截面找到求出范围。
线段 O M OM OM 与截面区域的边界有两个交点，分别对应大小不同的极径，
如果极径小的点始终落在同一个曲面上，则这个曲面称为下曲面 ρ = ρ 1 ( θ , φ ) \rho=\rho_1(\theta,\varphi) ρ=ρ1(θ,φ) ；
如果极径大的点始终落在同一个曲面上，则这个曲面称为上曲面 ρ = ρ 2 ( θ , φ ) \rho=\rho_2(\theta,\varphi) ρ=ρ2(θ,φ) 。
因此有， ρ 1 ( θ , φ ) ⩽ ρ ⩽ ρ 2 ( θ , φ ) \rho_1(\theta,\varphi)\leqslant\rho\leqslant\rho_2(\theta,\varphi) ρ1(θ,φ)⩽ρ⩽ρ2(θ,φ) 。