堆排序原理及实现

堆排序原理及实现

概述

​ 排序算法在程序设计中属于使用频度很高的一类算法，好的排序算法对于程序效率的提升有一定作用。常见的简单排序算法如冒泡排序、插入排序，对于多数情况来说O(n^2)的时间复杂度并不是太理想，效果较好的归并排序倒是时间复杂度达到O(n * lgn)了，可惜要使用额外的数组空间。所幸，有一种和归并排序效率差不多的原地排序算法——堆排序。这里就记录一下堆排序的原理及实现细节。

堆的基本性质

​ 堆是一种数据结构，在堆排序中用到的堆则更特殊一点，是二叉堆。结构类似于二叉树，每个节点至多有2个子节点，它可以近似被看作一个完全二叉树，除了最底下的一层外，其它层都是被充满的。

​ 常见的二叉堆实现是数组形式，因为二叉堆的父子节点在数组中索引有明确的数学关系：

Left(i) = i * 2, Right(i) = i * 2 + 1, i是当前节点索引，Left表达式求解当前节点的左子节点索引，Right表达式求解当前节点的右子节点索引。

​ 二叉堆可以分为2种形式，一种是最大堆，一种是最小堆。2种形式在结构上是相似的，只是性质不同。

​ 对于最大堆：Array[Parent(i)] >= Array[i]，该性质用文字描述可以这么表示，任一节点值(除根节点以外)小于或等于其父节点值。

​ 对于最小堆：Array[Parent(i)] <= Array[i]，该性质用文字描述可以这么表示，任一节点值(除根节点以外)大于或等于其父节点值。

维护堆性质(以最大堆为例)

​ 维护堆性质，对于堆添加新元素或改变元素值时是很重要的一步。对于最大堆来说，任一节点值(除根节点外)小于等于其父节点值，也就是说，任一节点值必定大于等于其左右子树的所有节点值，当这一性质不满足时，我们需要做的处理是，在其左右子树中找出一个值最大的节点让它”上浮”到当前节点，而当前节点则应该逐层”下沉”到一个合适的位置。这就是维护堆性质的办法。