GM(1,1)应用案例1

北方某城市1986-1992年道路交通平均噪声级数数据如表（1）建立GM(1,1)模型。

表（1）城市交通平均噪声级数数据/db(A)

编号	1	2	3	4	5	6	7
年份	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992
Leq	71.1	72.4	72.4	72.1	71.4	72.0	71.6

 【符号设置】

• x(0)(k)  原始数据,k=1,2,…,7
• x(1)(k)  累加生成数列(1-AGO）列，k=1,2,…,7
• z(1)(k)  (1-AGO)序列的均值，k=2,3,…,7
• λ(k)    级比数据,k=2,3,…,7
• a,b      待拟合参数

【建立模型】

1、级比检验

原始数据为

 = [71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]，根据级比公式

计算级比为λ=[0.9820 1.0000 1.0042 1.0098 0.9917 1.0056],级比容差范围=[0.7788  1.2840]

λ每个分量都在容差范围，即原始数据可以作GM(1,1）建模。

λ和容差计算程序：

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
lamuda=x0(1:n-1)./x0(2:n);
xita=exp([-2/(n+1),2/(n+1)]);
lamudamm=minmax(lamuda);
[lamudamm;xita]

2、GM(1,1)建模

(2.1) 对原始数据x(0）作一次（阶）累加.

公式为

计算得到x(1)=[71.1  143.5  215.9  288.0  359.4  431.4 503.],

（2.2）对x(1)取均值（作一次平滑）

公式为

计算得到z(1)=[107.3  179.7  251.95  323.7  395.4  467.2]

（2.3）构造数据矩阵B和数据向量Y

（2.4）计算最小二乘参数

经计算得

代码如下：

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
x1=cumsum(x0);
z=(x1(1:n-1)+x1(2:n))/2;
B=[z',ones(n-1,1)];Y=(x0(2:n))';
u=inv(B'*B)*B'*Y;

（2.5）建立模型

白化方程求解，得【6】

（2.6）求生成序列预测值和原始数据还原值

累加数据的预测公式为

取则原始数据的预测公式为【7】

 3、模型检验

【8】

【9】

根据公式[8]和[9]，计算残差和级比偏差，相关计算结果填入表2

 GM(1,1)所有计算及检验计算程序

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
lamuda=x0(1:n-1)./x0(2:n);
x1=cumsum(x0);
z=(x1(1:n-1)+x1(2:n))/2;
B=[-z',ones(n-1,1)];Y=(x0(2:n))';
u=inv(B'*B)*B'*Y;
x1(1)=x0(1);
x2(1)=x0(1);
xy(1)=x0(1);
for k=1:n-1
    x2(k+1)=(x0(1)-u(2)/u(1))*exp(-u(1)*k)+u(2)/u(1);
end
xy=[x0(1),diff(x2)];
err=x0-xy;
errb=err./x0;
a=u(1);
rho=(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a))*lamuda;
[x0',x1',[0,z]',xy',err',errb',[0,rho]']

表2 GM(1,1)模型残差与级比偏差

原始 数据	累加 数据	均值 数据	x0预测	残差	相对 误差	级比 偏差
71.1	71.1	0	71.1	0	0	0
72.4	143.5	107.3	72.40574	-0.00574	-7.9E-05	0.002299
72.4	215.9	179.7	72.23624	0.163763	0.002262	0.002341
72.1	288	251.95	72.06713	0.032871	0.000456	0.002351
71.4	359.4	323.7	71.89842	-0.49842	-0.00698	0.002364
72	431.4	395.4	71.7301	0.269901	0.003749	0.002322
71.6	503	467.2	71.56218	0.037824	0.000528	0.002354

 由表2可以得到，残差百分比和级比偏差都小于0.1,预测达到较高要求