随机变量的分布函数

随机变量的分布函数

定义

设$X$是一个随机变量，$x$是任意实数，函数$F(x)=P\{X⩽x\}$称为X的分布函数(X为数轴上随机点的坐标)

分布函数$F(x)$表示随机变量$X$落在$(-\infty ,x]$之间的概率

性质

分布函数F(x)具有以下基本性质：

1. $F(x)$是一个单调不降的函数。

$$即当x_1<x_2$$

$$有F(x)\le F(x,)$$

2. $0⩽F(x)⩽l$

$$F(—\infty )=li{m}_{x\to -\infty }F(x)=0$$

$$F(+\infty )=li{m}_{x\to +\infty }F(x)=0$$

接下来看几个例题简单感受一下就吧

例题1

若已知分布函数，如何求分布律？

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ \frac{1}{4},& -1⩽x<2\\ \frac{3}{4},& 2⩽x<3\\ 1,& x⩾3\end{array}$$

把图画出来是这样的

$P_k$	$X$
$\frac{1}{4}$	-1
$\frac{1}{2}$	2
$\frac{1}{4}$	3

公式就是该点的值减去该点的左极限值$P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$

例题2

设随机变量$X$的分布函数为

$F(x)=A+Barctan(x)(-\infty <x<+\infty )$试求常数$A$，$B$。

由分布函数的性质，我们有

$$0=li{m}_{x\to -\infty }F(x)=li{m}_{x\to -\infty }A+Barctan(x)=A-\frac{\pi }{2}B$$

$$1=li{m}_{x\to +\infty }F(x)=li{m}_{x\to +\infty }A+Barctan(x)=A+\frac{\pi }{2}B$$

有$\{\begin{array}{l}A-\frac{\pi }{2}B\\ A+\frac{\pi }{2}B\end{array}$解得$A=\frac{1}{2}$，$B=\frac{1}{\pi }$

例题3

设分布函数$F(x)=\{\begin{array}{ll}A+B{e}^{-\frac{x}{2}}& x>0\\ 0& x⩽0\end{array}$

求：$A$，$B$；

由分布函数的性质可知

$$F(+\infty )=1\to A=1$$

由$F(x)$在$x=0$的右连续性可知

$$F(0^{+})=F(0)\to A+B=0$$