小波变换学习笔记【1】

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1.1 小波变换的由来

傅里叶变换基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。
其缺点是，丢失了时间信息，无法判断一个特定频率的信号是在什么时间发生的；只适用于分析平稳信号，不适用于非平稳信号。


短时傅里叶变换的缺点：窗函数的大小和形状与信号的时间和频率没有关系，而且长度固定不变。然而我们一般在分析信号的时候，想要在高频的时候采用小的时间窗（大时间分辨率），在低频的时候采用大的时间窗（大频率分辨率）。该缺点导致 $STFT$ 对时变信号不是很实用。

1.2 小波变换定义及特点

什么叫紧支性？ 假设有一个函数 $f(s)$，其在零值附近函数值都不为零，然而在处零附近之外的地方，$f(s)$ 的函数值都为零，这个就叫做紧支性。

1.3 连续小波变换

$CWT$ 的变换结果就是小波系数 $C$，这表示在当前时刻 $T$，特定频率的成分对信号的贡献程度。

1.4 小波变换的步骤

1.5 离散小波变换

在进行小波变换的时候，对每一个平移参数和缩放因子来进行计算，得到相应的小波系数。这样导致的计算量非常大，这就意味着产生很大的数据量，并且有一些数据是无用的。
如果我们选取缩放因子和平移参数为 $2^j,j>0且为整数$，这样对部分的缩放因子和平移参数进行计算，大大减小计算量，从而节省计算时间。

这样的离散小波变换被称为双尺度小波变换，又或者被称为二进小波变换。

1000 个原始数据点，分别对其进行低通和高通滤波，然后对滤波之后的低频信号和高频信号分别进行小波变换，那此时，分别产生了1000个低频小波系数和1000个高频小波系数，这时候为了避免数据量增长，进行降采样处理，从而分别得到 500 个低频小波系数以及 500 个高频小波系数。

1.6 小波重构