【洛谷 P1510】精卫填海 题解（动态规划+01背包）

精卫填海

题目描述

本题为改编题。

发鸠之山，其上多柘木。有鸟焉，其状如乌，文首，白喙，赤足，名曰精卫，其名自詨。是炎帝之少女，名曰女娃。女娃游于东海，溺而不返，故为精卫。常衔西山之木石，以堙于东海。——《山海经》

精卫终于快把东海填平了！只剩下了最后的一小片区域了。同时，西山上的木石也已经不多了。精卫能把东海填平吗？

事实上，东海未填平的区域还需要至少体积为 $v$ 的木石才可以填平，而西山上的木石还剩下 $n$ 块，每块的体积和把它衔到东海需要的体力分别为 $k$ 和 $m$。精卫已经填海填了这么长时间了，她也很累了，她还剩下的体力为 $c$。

输入格式

输入文件的第一行是三个整数：$v,n,c$。

从第二行到第 $n+1$ 行分别为每块木石的体积和把它衔到东海需要的体力。

输出格式

输出文件只有一行，如果精卫能把东海填平，则输出她把东海填平后剩下的最大的体力，否则输出 Impossible（不带引号）。

样例 #1

样例输入 #1

100 2 10
50 5
50 5

样例输出 #1

0

样例 #2

样例输入 #2

10 2 1
50 5
10 2

样例输出 #2

Impossible

提示

数据范围及约定

• 对于 $20\%$ 的数据，$0<n\le 50$；
• 对于 $50\%$ 的数据，$0<n\le 1000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$0<n\le 10^4$，所有读入的数均属于 $[0,10^4]$，最后答案不大于 $c$。

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思路

状态转移方程：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - m[i]] + k[i]);

dp[j] 表示当前体力值为 j 时，精卫所能携带的最大石头体积。对于每一块石头 i，从 c 到 m[i] 枚举体力值 j，并尝试将它放入背包中。如果将石头 i 放入背包中所能得到的总体积 dp[j-m[i]] 加上 k[i] 大于 dp[j]，则更新 dp[j] 的值。最后，从 0 到 c 遍历 dp 数组，找到第一个 dp[j] 大于等于 v 的位置，输出 c-j 即为所需体力值。如果遍历结束后仍然没有找到符合条件的位置，则输出 Impossible。

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AC代码

#include 
#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e4 + 5;

// 需要体积，总石头数，总体力
int v, n, c;
// 运送i块石头，j体力所能运送的最大体积
int dp[N];
// 每块体积，所需体力
int k[N], m[N];

int main()
{
    cin >> v >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> k[i] >> m[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = c; j >= m[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - m[i]] + k[i]);
        }
    }
    for (int j = 0; j <= c; j++)
    {
        if (dp[j] >= v)
        {
            // 输出她把东海填平后剩下的最大的体力
            cout << c - j << endl;
            return 0;
        }
    }
    // cout << dp[n][c] << endl;
    cout << "Impossible" << endl;
    return 0;
}