[AcWing] 890. 能被整除的数（C++实现）容斥原理模板题

1. 题目

2. 读题（需要重点注意的东西）

思路：
容斥原理：

本题思路：
本题的思路其实就是代公式，为了代入公式我们要分别解决如下三个问题：
① 求出每个集合中元素的个数
② 求出集合和集合之间交集的个数
③ 用二进制表示选择了哪个集合与否

---

代码实现思路：
1、每一个i代表一种可能的取法，最外层的循环遍历置2的m次方后，可以取完所有的取法
2、里面的循环就是提取出这个i值对应的取法
3、再将提取出的取法代入公式

3. 解法

---------------------------------------------------解法---------------------------------------------------

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 20;

int p[N];


int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    // 用p数组存储m个质数
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];
    
    int res = 0;
    // --------------------1、每一个i代表一种可能的取法，最外层的循环遍历置2的m次方后，可以取完所有的取法--------------------
    // ① 为什么是2的m次方？最外层循环的作用是什么？
    // 从1开始枚举，枚举到1 << m（左移m位。左移一位相当于乘2，右移一位相当于除2），即2的m次方；
    for (int i = 1; i < 1 << m ; i ++ )
    {
        // t代表当前所有质数的乘积，s代表什么当前选法包含几个集合
        int t = 1, s = 0;
        // --------------------2、这个循环就是提取出这个i值对应的取法--------------------
        // 枚举m个质数，依次计算容斥原理的公式
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            // i右移j位与上1，即如果当前位是1的话
            // ② i在这里为什么要用位运算？
            if (i >> j & 1)
            {
                // (LL)t * p[j] > n
                // 如果t（已有的质数选法）乘上这个质数大于给定的数n，说明1∼n中的数不能被p整除
                // 此时直接返回break，跳过这个质数
                if ((LL)t * p[j] > n)
                {
                    t = -1;
                    break; // break的作用域是跳出整个循环
                }
                // 将该质数乘到t中
                t *= p[j];
                // s表示当前选法中有多少个集合
                s ++ ;
            }
        }
        // --------------------3、再将提取出的取法代入公式--------------------
        // 如果t不等于-1（-1是给定的flag值）
        if (t != -1)
        {
        	// ③ s为什么要模2?
            if (s % 2) res += n / t;
            else res -= n / t;
        }
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

---

可能存在的问题
① 最外层循环的作用是什么？为什么是2的m次方？

for (int i = 1; i < 1 << m ; i ++ )

解答：
这个是用位运算来作枚举，从1枚举到2的m次方减1
把i看做一个二进制数，如i = 5(十进制下)= 00101（二进制下）,表示p1、p3被选了
最外层的循环的作用是枚举从1到2的m次方减1的数，然后求出每个数的能被 p1,p2,…,pm 中的数整除的个数

② 循环中 i 为什么要做位运算？

if (i >> j & 1)

解答：
这里是为了求出哪一位上是1，从而计算出1对应的位置的集合的交集数

③ s为什么要模2?

if (t != -1)
            {
                // ③ s为什么要模2??
                if (s % 2) res += n / t;
                else res -= n / t;
            }

解答：
根据容斥原理公式，这里其实是模拟（-1）^n-1
奇数个集合是加，偶数个集合是减

4. 可能有帮助的前置习题

5. 所用到的数据结构与算法思想

• 容斥原理

6. 总结

求组合数第五种题型（卡特兰数）的模板题，理解卡特兰数的思想并背下代码。