[数学] 能被整除的数(容斥原理+二进制枚举)

1. 容斥原理+数学

890. 能被整除的数

重点： 容斥原理

暴力枚举，最坏需要针对每个数 $n$，枚举完所有的质数 $m$ 查看能否乘除。则时间复杂度为 $O(nm)$，超时。

以样例，采用容斥原理进行答案求解

思路：

• 定义集合 $S_2=2、4、6、8、10$，$S_3=3、6、9$，其中 $S_2、S_3$ 中集合元素是所能被 2，3 整除的元素。
• 那么有，$S_2\cap S_3=6$
• $\mid S_2\cup S_3\mid =\mid S_2\mid +\mid S_3\mid -\mid S_2\cap S_3\mid =5+3-1=7$。即能够发现，我们只要处理得到各个质数对应集合中的元素个数就能算出答案。
• 求解 $1\sim n$ 中 $p$ 的倍数的个数，为 $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$。且由于给定都是质数，那么 $\mid S_2\cap S_3\mid =\frac{n}{2\times 3}$，可推广至 $k$ 个素数集合的交，即为其最小公倍数。
• 算 $k$ 个素数所构成的集合的元素个数其实是需要计算 $k$ 次乘法的，即 $\frac{n}{p_1\times p_2\times ...\times p_k}$，那么计算每个集合的时间复杂度就是 $O(k)$，我们总共有 $2^m$ 个集合(这里就是 $C_m^1+C_m^2...+C_m^m=2^m$，是一个简单的组合恒等式)，那么总共的时间复杂度为 $O(2^{m}k)=O(2^{m}m)=2^{20}=10^6$，时间复杂度满足要求
• 至此，本题即为已知 $m$ 个质数，为 $p_1，p_2，...，p_m$，求解 $$\mid S_{p_1}\cup S_{p_2}\cup ...\cup S_{p_m}\mid =\mid S_{p_1}\mid +\mid S_{p_2}\mid +...+\mid S_{p_m}\mid -\mid S_{p_1}\cap S_{p_2}\mid -...+\mid S_{p_1}\cap S_{p_2}\cap S_{p_3}\mid ...$$

二进制思想枚举所有情况：

由于我们处理集合的数量比较多，有 $2^m$ 个集合。如何枚举各个集合的交集是个问题，可以采用 dfs 暴力枚举。在此采用 2 进制的思想来判定该集合是否被选，共有 $2^m$ 个情况，$m$ 个质数，$m$ 个二进制位，其中二进制位为 1 的时候就代表选这个集合，不为 1 则表示不选这个集合。这样就可以快速枚举出所有的情况，针对性处理即可。

模板代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 20;

int n, m;
int p[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) cin >> p[i];
    
    int res = 0; 
    for (int i = 1; i < 1 << m; ++i) {
        int t = 1, cnt = 0;
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            if (i >> j & 1) {
                ++cnt;
                if ((LL)t * p[j] > n) {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t *= p[j];
            }
        }
        if (t != -1) {
            if (cnt % 2) res += n / t;
            else res -= n / t;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}