高中奥数 2021-11-16

2021-11-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P118 习题09）

凸四边形中,点,在边上,使,点、在边上,使.求证:.

证明

如图,连结、.

图1

因,,

则,

即.

又,,

则,

即.

综上,.

2021-11-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P118 习题10）

凸六边形的各边之长相等,每个顶点关于两个相邻顶点的连线的对称点分别为、、、、、.证明:.

证明

将平面上的点视为复数,由于四边形为菱形,则.

同理,,.

故,

,

.

因此全等于、、三点所成的三角形.

同样,由,P,,

得到也全等于、、三点所成的三角形.

因此,.

2021-11-16-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P119 习题11）

已知梯形,边,对角线、交于点,在上取一点,使,在上取一点,使.求证:到、的距离相等.

证明

如图,连结,过作,交于,于,

图2

.

于是.

故平分,结合知,

又,

所以为斜边的中线,故,同理.

故.

2021-11-16-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 平面几何中的其他方法和问题选讲 P119 习题12）

已知锐角,其内切圆与边、分别切于点、,、分别是、的平分线与的交点,是边的中点.求证:当且仅当时,是等边三角形.

证明

如图,设为的内心.

图3

首先证明:、、、和、、、分别四点共圆.

注意到.

由为等腰三角形可得.

所以.

因此,、、、四点共圆.

同理,、、、四点共圆.

由此可知,且它们分别是和的中线.

所以,是等边三角形的充要条件是.

易知.

因此,所证命题成立.