卡方分布的期望值和方差

卡方分布的定义：

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。

期望值：

$${\chi }^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2$$

$$\begin{gathered} E({\chi }^2)=E(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2)= \\ E(x_1^2)+E(x_2^2)+E(x_3^2)+...E(x_n^2)= \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1^{2}f(x_1)dx+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_2^{2}f(x_1)dx+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_3^{2}f(x_1)dx+...+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_n^{2}f(x_1)dx=n \end{gathered}$$

方差：

$${\chi }^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2$$

$$\begin{gathered} D({\chi }^2)=D(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2)= \\ =D(x_1^2)+D(x_2^2)+D(x_3^2)+...+D(x_n^2)= \\ =E(x_1^4)-[E(x_1^2){]}^2+E(x_2^4)-[E(x_2^2){]}^2+E(x_3^4)-[E(x_3^2){]}^2+...+E(x_n^4)-[E(x_n^2){]}^2= \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1^4{e}^{-\frac{x_1^2}{2}}d{x}_1-1+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_2^4{e}^{-\frac{x_2^2}{2}}d{x}_2-1+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_3^4{e}^{-\frac{x_3^2}{2}}d{x}_3-1+...+{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_n^4{e}^{-\frac{x_n^2}{2}}d{x}_n-1=??? \end{gathered}$$

注意观察，上述第一步的转换用到了独立分布的定义。独立分布的随机变量，其和的方差的等于方差的和。

观察第一项：

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1^4{e}^{-\frac{x_1^2}{2}}d{x}_1= \\ {x}_1^3[-e^{-\frac{x_1^2}{2}}]{|}_{-\infty }^{+\infty }-{\int }_{-\infty }^{+\infty }3x_1^2[-e^{-\frac{x_1^2}{2}}]d{x}_1= \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }3x_1^2[e^{-\frac{x_1^2}{2}}]d{x}_1= \\ {x}_1[-3e^{-\frac{x_1^2}{2}}]{|}_{-\infty }^{+\infty }-{\int }_{-\infty }^{+\infty }[-3e^{-\frac{x_1^2}{2}}]d{x}_1=3 \end{gathered}$$
因此可得，${\chi }^2$的方差是3n-n = 2n