正态分布核函数

正太分布概率密度推导：

设$$I={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

则：
$$I^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy$$

$$\begin{gathered} I^2={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy= \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{y^2+x^2}{2}}dxdy= \\ \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\infty }\rho e^{-\frac{{\rho }^2}{2}}d\rho d\theta = \\ \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }[-e^{-\frac{{\rho }^2}{2}}]{|}_0^{+\infty }d\theta = \\ \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\theta =1 \end{gathered}$$

故 I = 1
且：
设$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$$