CF data structure 自制题单（一）

CF data structure 2000~2100

为你的战斗，献上雷鸣般的喝彩！——唔姆

目标 30 道题

1. Problem - 1555E - Codeforces

看了提示
给一些线段，每个现段有 $l,r,w$ 三个属性。现在要求选出一个集合，使得集合中的线段的并覆盖区间 $[1,m]$，并且线段的权值之和最小.

按照现段的权值排序，然后发现有单调性。对排好序的线段数组，固定好右端点 $r$ 后，只要有一个左端点 $l_0$ 满足 $[l_0,r]$ 之间的现段的并可以覆盖 $[1,m]$，那么对于 $l<l_0$，都会满足 $[l,r]$ 线段并覆盖 $[l,r]$.

然后维护一个线段的并就可以了. 这个可以使用 “矩阵的并” 那个扫描线算法。无需懒标记.

2. Problem - 1536D - Codeforces

给一个序列 $b_1,b_2,...,b_n$，问能否找到一个序列 $a$，使得对于每一个 $b_i$，$b_i$ 为 $a_1,a_2,...,a_{2i-1}$ 的中位数。这里的中位数指的是排完序之后的中间的那个数字.

我们模拟一下发现，这样子可以构造出来。设 $mid$ 为当前的中位数，$p$ 为 $mid$ 前面那个数字，$q$ 为 $mid$ 后面那个数字.

如果 $b_i<p$ 或 $b_i>q$，那么输出 NO
如果 $b_i=mid$，那么往里面塞一个 $-\infty$ 和 $+\infty$ 进去就行了.
如果 $b_i=p$，那么塞两个 $-\infty$
如果 $b_i=q$，那么塞两个 $+\infty$
否则，塞一个 $b_i$，根据 $b_i$ 与 $mid$ 的大小看塞 $-\infty$ 还是 $+\infty$

3. Problem - 1525C - Codeforces

$n(n\le 3\times 10^5)$ 个机器人在 $[0,m]$ 之间走动，碰到墙壁就会原路返回。两个机器人在整数点碰撞爆炸消失，但是在非整数点碰撞没有事情。问每个机器人的爆炸时间.

这种碰撞题，想办法用一个链表和优先队列就可以了.

由于只能在整数点相撞。因此只有奇偶性相同的时候才可能碰撞。因此分开求。

然后，就用一个优先队列，把相邻的两个加入到优先队列中，然后弄一个双链表维护一下左右两边相邻的机器人是哪个.

4. Problem - 1516D - Codeforces

给一个长度为 $n$ 的序列，$1\le n\le 10^5$，$1\le a_i\le 10^5$ , $q(q\le 10^5)$ 组询问，问可以最少把它们分成多少连续子区间，使得每个子区间内的 $lcm$ 为区间内数字的乘积.

我们发现只有区间内数字两两互质的时候才可能满足此条件. 记录一个 $R$ 链表，初始化 $R[i]=n+1$。 因此我们对于每一个点看看最往右的与它不互质的数字是哪一个。然后对于每个质数处理一下就可以了.

最后就建立了一个往后跳的链表。现在问题就变成了 $l$ 跳多少次可以到达大于 $r$ 的位置。这个可以用倍增法来求.

5. Problem - 1493D - Codeforces

给了 $n$ 个数字，给了 $q$ 次操作，每次将 $a_i$​ 乘以 $x$，在每次操作后输出整个数列的 $gcd$。

把数列分解质因数，$x$ 分解质因数，然后看每个质因数的变化情况即可. 最大公因数取决于所有数字的某个质因数的最小幂次. 不要漏掉 $0$ 次幂这个东西.

6. Problem - 1487E - Codeforces

有四个集合，集合中每个数字有权重，集合大小分别是 $n_1,n_2,n_3,n_4$，第一个集合和第二个集合之间有 $m_1$ 对儿数字不可以同时，同理第二个集合和第三个集合有 $m_2$ 对儿数字不可以同时存在，第三个集合和第四个集合有 $m_3$ 对儿数字不可以同时存在。现在从四个集合中各选一个数字，求数字权重之和最小是多少.

我们会发现集合之间的限制，两两独立。即我们只需要先计算出 $1$ 和 $2$ 两个集合之间的限制，然后用这个答案去更新 $2$ 和 $3$ 之间的限制，依次类推。比如对于第二个集合，计算每一个数字和第一个集合那个数字匹配，权重之和是最小的. 这个排一下序暴力查找就可以了.

7. Problem - 1486D - Codeforces

不会写
给一个长度为 $n$ 的序列，求长度至少为 $k$ 的连续子区间的中位数最大是多少。中位数这里定义为排好序之后的位于 $\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor$ 的数字.

首先，可以二分答案. 然后让大等于 $x$ 的数字置为 $1$，小于 $x$ 的数字置为 $-1$，然后打一个前缀和，对于每一个 $i$，在 $j=0,1,2,...,i-k$ 中找到 $sum[j]$ 的最小值，看 $sum[i]-sum[j]$ 是否大于0.

8. Problem - 1482E - Codeforces

给 $n$ 个楼房，每个楼房有一个高度 $h_i$ 和一个美丽值 $b_i$，现在要求把序列划分为几个连续子段，每个子段的美丽值是最低的楼房的高度的美丽值。这个序列的美丽值是子段美丽值之和. 求此序列的美丽值的最大值.

设 $d{p}_i$ 为第 $1\sim i$ 的最佳划分. 那么我们用一个单调栈，找到左边第一个小于 $h_i$ 的楼房是哪个，设为 $k$. 于是就讨论 $i$ 是否要和 $k$ 一组，如果一组的话就是 $d{p}_i=d{p}_k$，如果不一组的话就是 $\underset{k\le j\le i-1}{\max }d{p}_j+b_i$.

9. Problem - 1479B2 - Codeforces

不会写
把一个序列划分为两个子序列，相同且相邻的元素可以合并为同一个. 问两个序列最后最少共可以剩下多少元素？

设 $f(i.j)$ 表示处理完 $a_i$，另一组数字是 $j$ 的划分最小值.

$$\begin{gathered} f(i,j)=f(i-1,j)+[a_{i-1}\ne a_i] \\ f(i,a_{i-1})=f(i-1,j)+[a_i\ne j] \end{gathered}$$

10. Problem - 1446C - Codeforces

给 $n$ 个不同的数字，对于每个数字 $a_i$，找到 $i\ne j$ 使得 $b_i\oplus b_j$ 最小. 然后在 $i$ 和 $j$ 之间连一条边。最后会形成一个森林。现在让删掉尽可能少的结点，使得最后的数组可以形成一棵树.

建立字典树出来，一个点与另一个点的之间右边，那么它们最近公共祖先的高度一定是最低的. 然后深搜一下，$cn{t}_p=\max \{cn{t}_{p.l},cn{t}_{p.r}\}+1$. 相当于节点少的子树只保留一个点. 子树为空的时候特判.

11. Problem - 1420C2 - Codeforces

不会写

给一个 $1\sim n$ 的随机排列 $a$，要求选出一个子序列 $[b_1,b_2,...,b_k]$ 出来，这个子序列的值就是 $b_1-b_2+b_3-b_4...$. 现在给 $q$ 个操作，$l,r$，每次交换 $a[l],a[r]$，求每次交换后子序列的最大值是多少.

定义极大值点为 $a_i>a_{i-1}$ 且 $a_i>a_{i+1}$；定义极小值点为 $a_i<a_{i-1}$ 且 $a_i<a_{i+1}$. 那么答案就是极大值之和减去极小值之和. 并且第 $1$ 个数字和第 $n$ 个数字一定不是极小值.

发现这个，这个题就很简单了。因为每次操作，会改变状态的数字不超过 $6$ 个.

12. Problem - 1418D - Codeforces

初始有 $n$ 堆垃圾散落在x轴上，你需要把垃圾收集到至多两个点上。每次你可以把处于 $i$ 位置的垃圾，全部扫到 $i-1$ 或者 $i+1$ 的位置上。问至少需要几次操作才能完成任务。之后有人捣乱 $q$ 次，每次会在一个位置上制造出一堆垃圾，或者清理掉这堆垃圾。每次捣乱后需要分别求出答案。

相当于找到垃圾的最大值 $maxx$，最小值 $minx$，以及排好序最大的差分 $maxd$，答案就是 $maxx-minx-maxd$.

用 multiset 就可以实现，思路很简单，不过细节较多，注意特判.

13. Problem - 1416C - Codeforces

给 $n$ 个数字的序列 $a$，然后找到一个最小的数字 $x$，有 $b_i=a_i\oplus x$，使得 $b$ 序列的逆序对最少.

画出字典树就看出来了，如果 $x$ 的第 $i$ 为填 $1$，相当于把第 $i$ 层的左右子树交换，然后看看逆序对。并且交换子树，对上层的结点之间的逆序对是不会有影响的，即每一层之间交换子树对答案的贡献都是独立的.

14. Problem - 1408D - Codeforces

不会写

给 $n(n\le 2000)$ 个机器人，$m(m\le 2000)$ 个照明灯。所有坐标的范围都是 $[1,10^6]$. 一个机器人$(x_i,y_i)$ 被一个照明灯找到，当且仅当 $x_i\le x_j$ 且 $y_i\le y_j$. 现在让所有机器人的 $x$ 同一个数 $a$，让 $y$ 增加同一个数 $b$，使得所有机器人都不能被照明灯找到，问 $a+b$ 的最小值是多少.

我们观察，对于 $(i,j)$，必须要满足 $a+x_i>x_j$ 或 $b+y_i>y_j$. 假如 $a\le x_j-x_i$，那么 $b\ge y_j-y_i+1$. 那么可以从 $0$ 到 $10^6$ 枚举 $a$，看看所有 $a\le x_j-x_i$ 之中，$y_j-y_i+1$ 的最小值是多少。然后更新答案。

15. Problem - 1388D - Codeforces

给长度为 $n$ 的序列 $a,b$. 初始时 $ans=0$. 每次操作可以选择一个之前没有选过的下标 $id$，然后 $ans+=a_{id}$, $a_{id}+=a_{b_{id}}$. 现在让这个 $ans$ 最大，输出这个最大值和方案. 保证 $b$ 形成的是一个森林（即无环）

我们先考虑如果 $b$ 形成的是一条链，很简单的贪心策略，就是从前往后扫描，如果前缀和变成了负数，就截断。下面的序列便是新的起点，然后接着扫描. 树的话一样的写法.

输出的话要倒序输出.

16. Problem - 1379C - Codeforces

不会写

给 $m$ 种类型的花，每种花可以挑任意数量. 每种花有两个参数 $a,b$，如果这种花买了 $x$ 支，则得到的美丽值就是 $a+b\ast (x-1)$. 问最后挑选 $n$ 朵花能够得到的美丽值之和的最大值.

可以这么考虑，最后应该是一支花一直选择下去。不妨假设这种花的参数是 $a_i,b_i$. 那么可以发现，如果存在 $j$，有 $b_j>b_i$，那不如换成这种花一直选。如果 $b_j=b_i$，那么就选择 $a_i$ 与 $a_j$ 的较大值去选. 如果 $b_j<b_i$，那么选择一个 $b_j$ 不如选择一个 $b_i$. 因此就会发现一个问题，只有一种花会选择超过1支，其他的花，要么不选，要么之选一支。选的话就只选 $a_j>b_i$ 的花. 这样子，就好搜索了.

17. Problem - 1370E - Codeforces

给两个字符串 $s,t$，只有 $0$ 和 $1$ 组成，然后每次可以挑选 $s$ 的一个子序列，做一次旋转，即 $c_1:=c_k,c_2:=c_1,c_3:=c_2,\dots ,c_k:=c_{k-1}$. 问最少需要操作几次，就可以让 $s$ 变为 $t$. 字符串长度 $n\le 10^6$.

当 $s_i=t_i$ 的时候，可以自动忽略。然后就是，可以认为每次操作都是对一个 $101010...$ 或者是 $010101...$ 操作. 于是统计 $0$ 的个数和 $1$ 的个数，记作 $cn{t}_0$ 和 $cn{t}_1$. 记录 $cn{t}_0-cn{t}_1$ 的最大值是多少，以及最小值是多少，两者之差就是答案。

$cn{t}_0-cn{t}_1$ 为正的时候，是第一种操作 $101010...$；为负的时候是第二种操作 $010101...$. 然后 $cn{t}_0-cnt1$ 相同的位置都可以划到同一次操作里面.

18. Problem - 1359D - Codeforces

看了提示

给一个长度为 $n(n\le 10^5)$ 的序列 $a(-30\le a_i\le 30)$，找到一个连续子序列，使得 子序列的和减去该子序列的最大值 最大。

对于每个值，向左向右找到第一个严格大于它的数，然后在左边子区间中找到最小前缀和的值，在右边区间中找到最大前缀和的值. 相减即可.

19. Problem - 1322B - Codeforces

不会写

给一个长度为 $n$ 的序列 $a$，$n\le 4\times 10^5,1\le a_i\le 10^7$. 求
$$\begin{gathered} (a_1+a_2)\oplus (a_1+a_3)\oplus \dots \oplus (a_1+a_n) \\ \oplus (a_2+a_3)\oplus \dots \oplus (a_2+a_n) \\ \dots \\ \oplus (a_{n-1}+a_n) \end{gathered}$$

可以对答案每一位来考虑。数位从 $0$ 开始编号，对于答案第 $k$ 位，只需要关心原数组的 $0\sim k$ 位，因此可以把所有数字模 $2^{k+1}$. 然后两个数字之和的范围就是 $[0,2^{k+2}-2]$. 容易分析，当两数之和在 $[2^k,2^{k+1}-1]\cup [2^{k+1}+2^k,2^{k+2}-2]$ 的时候才可以。然后就可以用双指针计算答案了.

20. Problem - 1320C - Codeforces

有 $n$ 把剑 $m$ 个盾，每个剑有攻击值每个盾用防护值，剑和盾都有花费。有 $p$ 个怪，每个怪有攻击力和防御力。打败一个怪需要你的剑的攻击值严格大于怪的防御力，你的盾的防御值严格大于怪的攻击力。打败一个怪可以获得对应的收益。你只能买一把剑和一个盾。求打败所有能打的怪后最大的收益，可能为负。
$1\le n,m,p\le 2\times 10^5$.

相当于二维数点的问题. 把怪物攻击防御两个属性当作平面上的点. 然后枚举剑，把小于剑攻击力的怪物加进来，然后找的是每个盾能防御的怪减去盾的费用 的最大值. 后者用线段树维护就好.

小心用 upper_bound 查询 pair 的时候，要写成 int l = std::upper_bound(b + 1, b + m + 1, std::mp(c[id].y, (int)1e9+5)) - b;

21. Problem - 1304E - Codeforces

给 $n(n\le 10^5)$ 个结点的树，然后给 $q$ 个询问，每次询问在树上 $x,y$ 两点间加一条额外的边形成基环树，然后问两个点 $a,b$ 之间是否存在一条路径，其长度恰好为 $k$. 路径可以有重复的边和点.

很经典的基环树题目， 也就是讨论一下是否走 $(x,y)$ 这条边：$dist(a,b)\le k$ 并且奇偶性一致；$dist(a,x)+dist(b,y)+1\le k$ 且奇偶性一致；$dist(a,y)+dist(b,x)+1\le k$ 且奇偶性一致。三个条件满足其一即可.

22. Problem - 1299C - Codeforces

看了提示

给 $n$ 个数字，每次可以选择一个区间，将区间内的所有数字变成区间数字的平均值。求所得字典序最小的序列。

比较经典的问题了。区间划分然后全部变成平均值之类的。首先我们发现区间不会有相交的情况。然后就是用一个单调栈，维护一段一段的区间。如果当前段的均值比上一个的小，就与上一个合并，否则就作为一个新的区间段存入单调栈中.

23. Problem - 1288E - Codeforces

给一个 $1\sim n(n\le 3\times 10^5)$ 的排列，给 $m(m\le 3\times 10^5)$ 个询问，每次给一个数字 $x$，把 $x$ 丢到数组最前面去. 最后问每个数字出现位置的最大值和最小值.

本来打算用一个平衡树加上懒标记啥的. 其实根本不用那么复杂. 用一个树状数组，最开始把数字放在 $m+1\sim m+n$ 的位置，树状数组那些位置置为1，然后把第 $i$ 询问的数字位置的数字置为0，然后把第 $m-i$ 位置的数字置为1. 这样就模拟出来了过程.

24. Problem - 1284D - Codeforces

很简单的一道题却调了很久
给 $n$ 个演讲，每个演讲如果在 $A$ 举办，举办时间是 $[s{a}_i,t{a}_i]$. 若在 $B$ 举办，举办时间是 $[s{b}_i,t{b}_i]$. 现在假设演讲全在一个地方举办，问能否选出一个集合出来，使得在一个地点两两有交集，在另一个地点两两没有交集.

首先可以确定只需要看两个区间就可以了. 我的做法是在 $A$ 地两两有交集的区间里面，看在 $B$ 举办的时候是否存在两个不相交的情况. 如果存在，那么答案就是 NO，都不存在就是 YES. 前半部分用一个扫描线即可，把左端点置为 -1 右端点置为 1. 后半部分可以用两个 multiset. 加入一个新区间的时候，要想判断这个区间和其他区间有无交集，可以看其左端点是否大于集合中右端点最大值，以及右端点是否小于集合中左端点最小值.

25. Problem - 1278D - Codeforces

给 $n(n\le 5\times 10^5)$ 个区间，保证端点都不相同，对于区间 $i,j$，如果两个区间有交集并且两个区间并非包含关系，那么 $i$ 和 $j$ 之间连一条边. 问最后形成的是否是一棵树.

还是可以转化成二维数点的问题. 对于每一个点，其左下方的点一定和他有交集。然后在这些点中，找到 $r$ 大于当前节点的左端点的值的那些点，连边即可.

用一个权值线段树就行了.

26. Problem - 1271D - Codeforces

题意较为复杂：要攻取 $n$ 个城市（不能漏），一开始有 $k$ 个兵，攻取第 $i$ 个城市需要 $a_i$ 个兵，攻取之后可以获得 $b_i$ 个士兵，如果有一个人在这里防守可以获得 $c_i$ 的分数. 要么攻取之后留下一人守卫，要么攻取到后面的城市后把一名士兵通过道路 （$m\le 3\times 10^5$）派回来守卫. 问最大分数是多少。

首先把所有能够攻占后并达到的城市存入优先队列中，首先处理出来有哪些城市可以通过那个城市派兵到达. 加入现在在第 $i$ 个城市，从 $i$ 往后仍然可以继续进攻的条件是 $\sum _{j=0}^{i-1}{b}_j\ge a_i$， $i$ 后面的城市都要满足这个条件。所以可以用一个线段树维护一下最小值. $b_0=k$.

27. Problem - 1266E - Codeforces

有点难，还没想出来怎么写
有 $n$ 种物品需要生产，第 $i$ 种物品需要 $a_i$ 个。现在有一些魔法石，有三个参数 $(s_j,t_j,u_j)$. 表示如果现在有 $t_j$ 个 $s_j$，那么会自动生成一个 $u_j$. 现在给 $q$ 个操作，每次都会新增、删除或修改一个魔法石，问每次需要产生所有物品至少需要自己生产.

28. Problem - 1266D - Codeforces

看了一点提示

记 $d(a,b)$ 为 $a$ 欠 $b$ 的钱数. 如果有 $d(a,b),d(c,d)$，可以把 $d(a,b),d(c,d)$ 同时减少 $z$,
把 $d(a,d),d(c,b)$ 同时增加 $z$；还有就是如果 $d(a,a)>0$，可以让 $d(a,a)$ 等于0. 求最后可以使得总和最少. 求最少总和的情况下对应的债务关系.

我发现 $d(a,b),d(b,c)$ 存在的情况下可以减少总和，并且使债务关系不会变多. 因此我们可以围绕 b 做处理，每次可以消去一个 $d(a,b)$ 或者 $d(b,c)$，增加一个 $d(a,c)$. 因此只要处理完 $b$ 之后，就不用在管他了。
但是直接模拟一遍会超时，第 84 个测试会卡掉. 因此可以换种思考方式，统计每个人的收入和支出，并且进行抵消. 然后把收入为正和为负的分为两部分，收入为正的人接受收入为负的人的贷款，用这个构造答案即可.

29. Problem - 1263E - Codeforces

给一个随时可以修改的包含左右括号的括号串，问当前括号串是否合法，以及左括号的最大深度是多少.

这个题只需要记录一个左括号前缀和与右括号前缀和的差值，维护一下这个差值的全局最大值和最小值即可. 这个可以线段树去做. 比较简单的一道题.

30. Problem - 785E - Codeforces

不会写
给一个 $1\sim n(n\le 10^5)$ 的排列，给 $q(q\le 50000)$ 组操作，每次交换 $l,r$ 两个位置的数字。问每次交换之后的逆序对是多少.

其实统计的就是 $l\sim r$ 之间的数字，有多少个是位于 $a_l$ 和 $a_r$ 之间的. 这个其实很简单的，分块，每块内部维护一个升序的 vector，这样子的话，在 $l,r$ 所在的块内部暴力修改与查询，中间的块不涉及修改操作，因此二分查找即可.