MIT-18.06-线性代数（第七讲）

第七讲 —— ：主变量、特解

1. 计算零空间、主变量、自由变量、特解

有矩阵，对这个矩阵消元，消元过程中，零空间不会改变。
消元后，最终得到了阶梯形式（echelon form），即非零元素以一种阶梯形式出现。本例中，主元只有两个，主元的数量是2，该数字称为矩阵的秩（rank）。

此时解变成了解，但解的值和零空间不变。下面进行回代，首先找出主变量（pivot variables），主列（pivot columns），也就是主元所在的列，这里存在第一列和第三列两个pivot columns，另外两列为自由列（free columns），这些自由列表示，可以自由或任意分配数值给这些未知数，即列二和列四的乘数是任意的，因此和可以任取，然后只需求解和即可。

写成方程组的形式，，求和可以通过回代，新的知识点：自由变量（free variables），自由变量可以取任何值，这里任意选择和，回代得到，这样就得到零空间的一个向量，也就是的一个解。该向量的任意倍数是方程组的解。得到四维空间中一条无限延伸的直线，直线在零空间中，但它是整个零空间吗？不是。自由变量有两个，可以任意取值。若，回代得，可得到另一个零空间的向量。

以上两个向量称为特解（special solutions），特解也就是特定的解，特定在于给自由变量分配的特定值，从而得到零空间内特定的解。通过特解能构造出整个零空间。零空间所包含的正好是特解的线性组合。本例中则为那么有多少个特解？每个自由变量对应一个特解， 那么有多少自由变量呢？对于矩阵，个变量，若其秩为，自由变量个数则为。个主变量，表示只有个方程起作用，剩下的个变量都可以自由选取，令其为0、1这样的特定值，就能得到特解。

2. 简化行阶梯形式

矩阵，称为简化行阶梯形式（reduced row echelon form），这意味着能进一步简化。

，行三均为0，是因为其是行一和行二的线性组合，消元发现了这一点，将其剔除。此时可以向上消元， ——> ——> 。（在Matlab中，rref(A)可直接得到R）。它以最简形式包含了所有信息。主行主列交汇处存在单位阵。

写成方程组的形式，，即，现在处理自由变量并回代，分别考虑主列和自由列，

这个步骤其实相当于回代，结果是自由列中数字的相反数。

假设方程组已经是rref形式，有，这是典型的简化行阶梯形式。求解。构建零空间矩阵，它的各列由特解组成，记作，有，得，Matlab可以通过指令null求出。，。

再一个例子，有，开始消元， ——> ——> ——> 。秩仍然为2，矩阵主列的个数与其转置相同。只有一个自由列。令自由变量为1，回代，得到。零空间内还有什么向量呢？乘以即可，整个零空间是一条直线，记为。向上消元得到，进而有。