EM@对数@对数函数

abstract

• 从幂到对数的引入介绍
• 对数相关性质公式
• 对数函数及其性质

幂指数和对数

• 在指数函数$y=a^x,(a>0,a\ne 1)$中,对于实数集$R$内的每一个指$x$,正实数集内都有唯一确定的值$y$和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值$y$,在$\mathbb{R}$内部都有唯一确定的值$x$和它对应
• **幂指数$x$**又称为"以$a$为底$y$的对数",例如$4^2=16$,那么$2$是以$4$为底的$16$的对数
• 指数函数相关内容

对数的表示

• 通常用符号$\text{log}$(logarithm的缩写)表示对数
• 一般地,"以$a$为底$y$的对数$x$"记为${\log }_{a}y$,即$x={\log }_{a}y(a>0,a\ne 1)$
  • 其中$a$叫做对数的底数(基数),$y$叫做真数,读作"$x$等于以$a$为底$y$的对数"
  • 例如,$2$是以$4$为底的$16$的对数可以表示为$2={\log }_{4}16$
• 显然,对数表达式是指数函数式$y=a^x$的另一种表达形式,例如
  1. $y=a^x$(1)
  2. $x={\log }_{a}y$(2)
• (1),(2)表示的是$x,y$的关系是同一关系

指数对数得重要表示形式

• 根据对数的定义,可以得到以下对数恒等式$a^{{\log }_{a}y}=y$
  • 将(2)代入(1),即得$y=a^{{\log }_{a}y}$
  • 例如$2^{{\log }_{2}32}$=$32$,$e^{\ln a}=a$,$e^{\ln e^x}=e^x$
• 在高等数学中,利用次公式可以转换和解决许多问题,例如求极限

对数的性质

• 设${\log }_{a}N=y$,$(a>0,a\ne 1)$具有性质:
  • 零和负数没有对数,即$N>0$
    • 若$N⩽0$,则$a$没有对数,
    • 由对数定义:$a^y=N$,而$a>0$,所以$a^y>0$,从而$N>0$,这和假设矛盾,所以假设不成立,即$N>0$
  • 1的对数为0(任意底$a$的1的对数为0),即${\log }_{a}1=0$
  • 底的对数为1,即${\log }_{a}a=1$

对数的运算

• 上述运算性质容易用对数的定义证明,但是要注意
  • 成立的条件(等式两端都有意义)
  • 公式的逆用(用于化简和证明)
• 对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数，就会使特定运算更容易

对数和差公式(真数积商公式)

• 这里的和差指的是对数之间的和差,而不是真数和差

• ${\log }_a{\prod }_{i=1}^k{N}_i$=${\sum }_{i=1}^k{\log }_a{N}_i$,$(a,N_i>0,i=1,2,\cdots ,k)$

• ${\log }_a\frac{M}{N}$=${\log }_{a}M-{\log }_{a}N$,$(a,M,N>0)$

基变换@换底公式@对数商公式

• ${\log }_{b}N$=$\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$
• 证明:
  • 设${\log }_{b}N=x$,则$b^x=N$(1)
  • (1)两边取"以$a$为底的对数",得${\log }_a{b}^x={\log }_{a}N$
  • $x{\log }_{a}b={\log }_{a}N$,所以$x=\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$
• 通常取$a=e$或$a=10$,使得非自然对数和常用对数能够转换为这两类对数计算
  • ${\log }_{b}N$=$\frac{\ln N}{\ln b}$=$\frac{\lg N}{\lg b}$

指系(次方公式)

• ${\log }_{a^{\beta }}{M}^{\alpha }$=$\frac{\alpha }{\beta }{\log }_{a}M$,$(a,M>0,\beta \ne 0)$,
  • 特别的,${\log }_a{M}^{\alpha }$=$\alpha {\log }_{a}M$,$(a,M>0)$

证明

• 证法1:由对数定义,令$y={\log }_{a^{\beta }}{M}^{\alpha }$,$(a^{\beta }{)}^y=M^{\alpha }$,$((a^{\beta }{)}^y{)}^{{\alpha }^{-1}}=(M^{\alpha }{)}^{{\alpha }^{-1}}$,即$a^{\beta y{\alpha }^{-1}}$=$M$
  • 两边同时取$a$为底的对数:$\beta y{\alpha }^{-1}$=${\log }_{a}M$,即$y=\alpha {\beta }^{-1}{\log }_{a}M$
• 证法2:利用换地公式证明
  • 证:令$y={\log }_{a^{\beta }}{M}^{\alpha }$,$y=\frac{\ln M^{\alpha }}{\ln a^{\beta }}$=$\frac{a\ln M}{\beta \ln a}$=$\frac{\alpha }{\beta }{\log }_{a}M$

还原公式

• $a^{{\log }_{a}b}$=$b$,$(a,b>0)$

其他公式

互换公式

• $M^{{\log }_{a}N}$=$N^{{\log }_{a}M}$,$(a,M,N>0)$
  • 例如$2^{{\log }_{3}9}$=$4$;$9^{{\log }_{3}2}$=$(3^2{)}^{{\log }_{3}2}$=$(3^{{\log }_{3}2}{)}^2$=$2^2=4$
• 证1:(推荐)
  • 令$y_1={\log }_{a}N$,$y_2={\log }_{a}M$,则$a^{y_1}=N$,$a^{y_2}=M$,即
    • $(a^{y_1}{)}^{y_2}$=$N^{y_2}$;
    • $(a^{y_2}{)}^{y_1}$=$M^{y_1}$
  • 显然$N^{y_2}=M^{y_1}=a^{y_1{y}_2}$,即命题成立
• 证2:
  • 令$y_1=M^{{\log }_{a}N}$,$y_2=N^{{\log }_{a}M}$
  • 由对数定义,${\log }_M{y}_1={\log }_{a}N$;${\log }_N{y}_2={\log }_{a}M$
  • 若$N=1$或$y_2=1$时,$y_1=y_2=1$
  • 否则:
    • 由换底公式,两式相除:$\frac{{\log }_M{y}_1}{{\log }_N{y}_2}$=${\log }_{M}N$
    • $\frac{{\log }_M{y}_1}{{\log }_{M}N}$=${\log }_N{y}_2$,即${\log }_N{y}_1$=${\log }_N{y}_2$;所以$y_1=y_2$
  • 综上命题成立

倒数公式

• ${\log }_{a}b$=$\frac{1}{{\log }_{b}a}$
• 证明:$\frac{1}{{\log }_{b}a}$=$(\frac{{\lg }_a}{{\lg }_b}{)}^{-1}$=$\frac{{\lg }_b}{{\lg }_a}$=${\log }_{a}b$

链式公式

• $({\log }_{a}b)({\log }_{b}c)$=${\log }_{a}c$
• 证明:$\frac{{\lg }_b}{{\lg }_a}\frac{{\lg }_c}{{\lg }_b}$=$\frac{{\lg }_c}{{\lg }_a}$=${\log }_{a}c$
• 推广:$({\log }_{a_1}{a}_2)({\log }_{a_2}{a}_3)\cdots ({\log }_{a_{n-1}}{a}_n)$=${\log }_{a_1}{a}_n$
  • ${\prod }_{i=1}^{n-1}{\log }_{a_i}{a}_{i+1}$=${\log }_{a_1}{a}_n$

对数函数

• 一般地,函数$y={\log }_{a}x$,$(a>0,a\ne 1)$称为对数函数
  • 定义域为$x>0$
  • 值域为$\mathbb{R}$
• 函数总是过$(1,0)$,$(a,1)$

单调性

• 对于$y={\log }_{a}x$,在定义域内
  • $0<a<1$时,函数为减函数
  • $a>1$时,函数为增函数

对数函数和指数函数的关系

• 函数$y={\log }_{a}x$,$(a>0,a\ne 1)$和$y=a^x$,$(a>0,a\ne 1)$互为反函数
• 它们的图象关于$y=x$对称

关于$x$轴对称的对数函数

• 函数$y_1={\log }_{a}x$和$y_2={\log }_{a^{-1}}x$关于$y=0$对称

• 由对数性质,$y_2=-{\log }_{a}x$,显然$y_1=-y_2$,从而两函数关于$x$轴对称

同底指数和对数函数 交点数图象性质

• 当$0<\alpha <e^{-e}$时,$y={\log }_{\alpha }x$和$y={\alpha }^x$交于三点
  • $e^{-e}<\alpha <1$时交于一点；
  • $1<\alpha <e^{\frac{1}{e}}$时交于两点；
  • $\alpha =e^{\frac{1}{e}}$时交于一点；
  • $\alpha >e^{\frac{1}{e}}$时则无交点。