【算法总结】快速排序及边界问题分析

1. 快速排序——分治

# 算法原理：

在给定序列找到一个点x使得x左边区间数都小于x，右边区间数都大于x

# 步骤：

1. 确定分界点
   • 随机，可以是第一个数
2. 调整区间
   • 使左边都小于分界点，右边都大于分界点
3. 递归处理左右两段
   • 递归停止的条件if(l >= r) return;即区间里没有数或只有1个数就直接返回

# 如何实现x左边都小于等于x右边都大于等于x？

方法一：暴力法

1. 开辟两个数组 a[] 和 b[]
2. 对序列q[l~r]：小于x的放a[] 大于x放b[]
   • if q[i] <= x then q[i]-->a[]
   • if q[i] > x then q[i] -->b[]
3. 把a[],b[]依次放回q[]
   • a[],b[]-->q[]

方法二：双指针

1. 当i指针指向的数小于x，指针后移
   • 当q[i] ， i++
2. 直到i指向的数大于x，开始判断j指向的数
   • 当q[i]>x， 判断q[j]
3. 当j指针指向的数大于x，指针前移
   • 当q[j]>x， j--
4. 直到j指向的数小于x，交换i,j指向的数
   • 当q[j]， swap(q[i], q[j])
5. 重复上述过程，直到i>j

最终j指针一定在i指针前面，i指向x

因为循环结束的条件是i，然后每次循环至少执行1次i++和j--，因此在退出循环时，必定满足j + 1 = i，即j在i的前面。后文有解析这个问题，点击跳转

• i 左边的数永远 <=x
• j 右边的数永远 >=x

当i, j 两个指针穿过后，左边的数为<=x，右边的数位>=x，从而分成2个区间。

# 快排模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
	if(l >= r) return;
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    while(i < j)
    {
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

# 需要斟酌的细节（边界问题）

参考了CSDN上总结的一篇非常Nice的文章

细节一：指针移动的判断不带等号

考虑一个边界问题，为什么移动i和j指针的条件是q[i] < x和q[j] > x，而不是q[i] <= x和q[j] >= x？

原因如下：

• 如果选取的x是数组里最大的数，序列中所有的数都满足q[i] <= x，会导致i会一直++发生越界都不会停下来。
• 如果选取的x是数组里最小的数，同理q[j] >= x恒成立，j会一直--发生越界。

这也是造成快排不稳定的原因，排序算法是否稳定，与时间效率是否稳定无关。稳定是指若源序列中两个值相同的数，排序后这两个数的先后次序不会发生改变。

而快排中当边界点存在重复的数会交换位置。因此快排不稳定。

解决不稳定的方法：把序列中的数改成二元数，Ai改成 ，从而使所有的数都不相同。

细节二：使用do-while在判断前先移动指针

考虑一个边界问题，为什么不能让i = l和j = r然后使用while循环代替do-while循环？

探讨一下写成如下形式会有什么问题

while(q[i] < x) i++;
while(q[j] > x) j--;

若数组中存在重复的数字，某一轮可能存在**i和j都指向重复的数字**，并且分界点x也是这个数字，上述两个while语句的判断就会结束循环，此时q[i] = q[j] = x，交换i和j指向这个局面仍然不会改变，因此下一轮会重复这个过程，陷入死循环。

因此，要确保每轮下来两个指针都至少会移动一步，保证上一次交换的结果不会再次判断。

思路是，在判断while条件时，先移动指针。用do-while最容易实现这个思想，也可以用while实现：

do i++; while(q[i] < x);
do j--; while(q[j] > x);
//等价于
while(q[++i] < x);
while(q[--j] > x);

同时为了保证每轮下来边界l和r都能被判断到，因此初始化要i = l - 1, j = r + 1使指针在数组两端之外。

细节三：区间左半边使[l, j]而不是[l, i]

考虑一个边界问题，q[i] 和 q[j] 在 i == j - 1 时停下来做交换的场景，交换完成之后i和j会各自前进（i ++, j --）一步，形成i > j（即i == j + 1）的不合法局面。

这个局面的原因：由于i指针移动时，其走过的数都满足< x，j移动时其走过的数都满足> x。i, j相遇时，其再继续移动就会穿过对方，进入对方走过的数，因此会停下来等待交换。此时i, j位置就发生了交换， j + 1 = i。并且i, j指向的数不用再交换了，因为前后的数都已经判断过了。

此时，从l到j的数都满足q[l, j] <= x。为什么不是< x，因为i走过的数如果需要和j交换，换过来的数可能是= x的。

所以，在这个局面下，**满足性质<= x的区间是[l, j]**而不是[l, i]，因此划分的两个区间是[l, j]、[j + 1, r]。

细节四：关于x的取的位置

考虑一个边界问题，x取q[l], q[r], q[l+r>>1], q[l+r+1>>1]会有什么不同的结果？区别在于上取整还是下取整。

当按照q[l+r+1>>1]，递归区间[l, j], [j+1, r]时，会有以下边界问题：

最终i = j = 2，跟前面分析的不一样，最后结果也是进入死循环无限递归。

这个细节等二分的细节研究完再补充。

2022.04.10