高中奥数 2021-11-10

2021-11-10-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P107 习题13）

面积为的凸四边形内接于一圆,圆心在四边形内部.证明:以该四边形对角线交点在四边上的射影为顶点的四边形面积不超过.

证明

如图,是圆内接凸四边形对角线交点,它到四边的垂足分别是、、、,则,所以平分.

图1

同理可证:,,分别平分,,,所以四边形内心为.

由圆外切四边形面积公式(见例10的解答过程)得平面几何.

()

又因为

$\begin{aligned} S_{\text{四边形}ABCD}&=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin \angle AOD\\ &=\dfrac{1}{2}\left(AO+OC\right)\left(BO+OD\right)\cdot\sin \angle AOD\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{SP}{\sin A}+\dfrac{QR}{\sin A}\right)\cdot\left(\dfrac{PQ}{\sin B}+\dfrac{RS}{\sin B}\right)\cdot\sin \angle AOD\\ &\geqslant \dfrac{4\sqrt{PQ\cdot QR\cdot RS\cdot SP}\sin\angle AOD}{2\sin A\sin B}\\ &=\dfrac{2S_{\text{四边形}PQRS}}{\sin A\sin B}\\ &\geqslant 2S_{\text{四边形}PQRS} \end{aligned}$

所以,当且仅当是矩形时等号成立.

2021-11-10-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题14）

设为的重心,、、分别为、、与的外接圆的交点.求证:,等号成立当且仅当为正三角形.

证明

设为边上中线长,为边上中线长,为边中线长.

记,,.

设,,分别平分边、、.

图2

由相交弦定理得

又由中线长公式,

即,

其中,

且.

于是,

即.

同理,,.

于是(柯西不等式).

得证.

2021-11-10-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题015）

如图,设内存在一点,使,直线、分别交、于、.证明:.

图3

证明

设,,.

由,得.

同理,.

于是,只要证明.

因为,,

所以,只要证.

平方化简后得,

再平方化简后得,即原不等式成立.

2021-11-10-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题16）

设为锐角的垂心,的三条高线中最长的一条记为.证明:.

证明

不妨设,,,且不妨设.

如图,作关于的对称点,连结、、.

图4

因,,所以,、、、四点共圆.

则由托勒密定理知

故,因此.

因为是三条高线中最长的,所以,.

2021-11-10-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题17）

设是等边三角形,是其内部一点,线段、、依次交三边、、于、、三点.证明:.

证明

如图,由余弦定理

图5

同理,,.

由塞瓦定理.

所以,

$\begin{aligned} &A_{1}B_{1}\cdot B_{1}C_{1}\cdot C_{1}A_{1}\\\geqslant &\sqrt{A_{1}C\cdot B_{1}C\cdot B_{1}A\cdot C_{1}A\cdot C_{1}B\cdot A_{1}B}\\=&A_{1}B\cdot B_{1}C\cdot C_{1}A\cdot\sqrt{ \dfrac{A_{1}C\cdot B_{1}A\cdot C_{1}B}{A_{1}C\cdot A_{1}C \cdot C_{1}A}}\\=&A_{1}B\cdot B_{1}C\cdot C_{1}A. \end{aligned}$ .

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