数据结构：KMP算法的原理图解和代码解析

本篇总结的是关于串中的KMP算法解析

应用场景

现给定两个串，现在要看较短的一个串是不是较长的串的子串，如果是就输出子串后面的内容，如果不是则输出Not Found

能匹配到：

长串：qwertabcde
短串：abcd

则可以在长串中找到短串的内容，则输出abcde

匹配不到：

长串：qwertabcde
短串：afcd

则无法在长串中匹配到短串的内容，则输出Not Found

算法方案

对于如何匹配串的问题，首先是一种暴力的方案，例如让短串的内容不断地和长串进行匹配，如果在短串和长串中对应到了，就两个同时向后移动，如果短串到头，就说明匹配成功了，如果遇到其他字符，就重新进行匹配，这就是暴力求解的方案，但是时间复杂度高，总体来说是一个O(MN)的时间复杂度

这样的时间复杂度对于算法来说是比较高的，于是有三个大佬Knuth、Morris、Pratt，发明了一个著名的字符串匹配算法，因此这个算法的名字就被命名为KMP算法

算法原理

为了方便叙述，定义str是这里的长串，pattern是要匹配的串

算法原理就是创建一个next数组，里面存储的是pattern中，下标为i的字符前的字符串最长相等前后缀的长度

那什么是最长相等前后缀？用下面的例子来举例：

假设现在pattern是abcab，那么对于pattern来说，它的前后缀分别有：

前缀：{a,ab,abc,abca,abcab}
后缀：{b,ab,cab,bcab,abcab}

因此对于pattern来说，它的next数组可以这么表示

从pattern的最后一个字符来看，它的前面的字符串是abca，而对于这个串来说的相等的前后缀只有a这一个，因此这里填入的就是a的长度也就是1

但是这个数组有什么用？从下面这个例子来看：

假设现在str为abcabeabcabcmn，pattern为abcabcmn

那么写出pattern的next数组：

下面就开始进行匹配了，当匹配到e和c的时候匹配失败了，此时如果是暴力算法的思路来看，需要让pattern和str的第二个字符开始对齐，再重新匹配，但是对于KMP算法来说，next数组的作用就出现了

只需要让不匹配的字符下标对应的next下标的值，回溯到pattern下标即可

以上面的例子为例，现在是s[5]和p[5]的匹配失败了，那么next[5]对应的数据是2，那么就意味着现在要让s[5]和p[2]进行对齐匹配，也就是说，设匹配失败的字符下标为i，那么就要让s[i]和p[next[i]]进行匹配

这样就是一个循环了，进行多次循环即可，这也就是KMP算法的核心所在

next数组的意义：

1. 下标为i的字符前的字符串最长相等前后缀的长度
2. 该处字符不匹配时应该回溯到的字符的下标

上面的next数组写法只是手算出来的，在实际算法中需要将next数组用代码实现写出来：

void GetNext(const string& pattern, vector<int>& next)
{
	int i = 0, j = -1;
	next[0] = -1;
	while (i < pattern.size() - 1)
	{
		if (j == -1 || pattern[i] == pattern[j])
		{
			next[++i] = ++j;
		}
		else
		{
			j = next[j];
		}
	}
}

对于上面的代码来进行解析：

1. 如果两个i和j的对应的字符相等，那么i和j就同步向后移动
2. 如果不相等，就要进行回退了，回退到它们原来最长公共前后缀的地方，i指向的是后面的最长公共前后缀，j回退到前面的最长公共前后缀，如果这两个前后缀相等，那么这就组成了一个新的最长相等前后缀，就可以进行数据的写入了

关于求出next数组后，利用这个数组求KMP算法的代码：

int KMP(const string& str, const string& pattern, const vector<int>& next)
{
	int i = 0, j = 0;
	while (i < (int)str.size() && j < (int)pattern.size())
	{
		if (j == -1 || str[i] == pattern[j])
		{
			i++, j++;
		}
		else
		{
			j = next[j];
		}
	}

	if (j == pattern.size())
	{
		return i - j;
	}
	else
	{
		return -1;
	}
}

在知道next数组后，解决剩下的问题就很容易了，只需要一一进行比对，如果不满足条件就进行回溯，如果走到头就返回下标，如果不满足条件就返回-1

完整代码

#include 
using namespace std;

// KMP算法，给定两个字符串，用子串去匹配长字符串，如果匹配成功就输出匹配的字符串和后面的内容
// 如果匹配不成功就输出NOT FOUND

void GetNext(const string& pattern, vector<int>& next)
{
	int i = 0, j = -1;
	next[i] = j;
	while (i < pattern.size() - 1)
	{
		if (j == -1 || pattern[i] == pattern[j])
		{
			next[++i] = ++j;
		}
		else
		{
			j = next[j];
		}
	}
}

int KMP(const string& str, const string& pattern, const vector<int>& next)
{
	int i = 0, j = 0;
	while (i < (int)str.size() && j < (int)pattern.size())
	{
		if (j == -1 || str[i] == pattern[j])
		{
			i++, j++;
		}
		else
		{
			j = next[j];
		}
	}

	if (j == pattern.size())
	{
		return i - j;
	}
	else
	{
		return -1;
	}
}

void PrintString(const string& str, int index)
{
	string res;
	for (int i = index; i < str.size(); i++)
	{
		res += str[i];
	}
	cout << res << endl;
}

int main()
{
	// str是长字符串，pattern是要匹配的子串
	string str, pattern;
	cin >> str >> pattern;

	// KMP算法首先计算出pattern的next数组
	vector<int> next(pattern.size());
	GetNext(pattern, next);

	// 根据str,pattern,next数组进行匹配
	int index = KMP(str, pattern, next);

	// 得出结果
	if (index == -1)
	{
		cout << "NOT FOUND" << endl;
	}
	else
	{
		PrintString(str, index);
	}

	return 0;
}