微分方程-常系数线性方程组

常系数线性方程组

对于线性方程组，只要得到了相应的齐次线性方程组的基本解组，我们就可以常数变易公式给出他的通解. 因此本节主要给出常系数齐次线性方程组的基本解组的求解方法.

将常系数齐次线性方程组表述为矩阵形式

由于需要考虑特征值，因此我们在复数域讨论方程组（4.14）. 简记列向量 和 阶矩阵 同样用 Euler 指数函数法，设（4.14）有如下形式的特解：

其中 和非零向量 都是待定的. 将（4.15）带入（4.14）得

从而化成了线性代数中求矩阵 的特征值 和相应的特征向量 的问题. 方程组（4.14）有非零解当且仅当系数行列式 . 我们称 为特征方程.

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定理 4.4

如果矩阵 有 个彼此互异的特征根 ，则方程组（4.14）有基本解组 ，其中 使分别相应于 的特征向量.

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定理的证明是根据十分基本的线性代数知识，在定理的条件下矩阵 可对角化，对应的特征向量 是线性无关的并构成 的一组基.

较困难的问题是上述 不可对角化的情形. 在一般情况下 的特征方程可以有重根，故 只能在 上化成 Jordan 标准型. 我们将引入矩阵指数函数的方法.

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因为这部分内容比较多，所以分为三个部分

• [矩阵指数函数]
• [标准解矩阵的初等表达]
• [重特征根情形结论]