C++：【数据结构】trie树

这篇文章来介绍一个比较重要的数据结构：字典树（TrieTree）。其中 trie 一词来自于英语单词 retrieval 【检索】。

背景知识

首先来谈谈为什么会出现这么个东西。现在有一堆单词（也可能是其他的东西），然后给出一个单词，让你检查一下它是不是在这一堆里面。当然我们可以直接遍历所有单词，一个一个去比较，作为一个程序员，这样很明显是十分愚蠢的。那么我们就得想办法优化一下。怎么优化呢，想想你去英语词典里找单词，难道你要从第一页开始一个词一个词找吗？显然不是。正常人的做法是先找首字母，找到一个范围，再去那个范围里找第二个字母，以此类推。那么我们的字典树就是这样一种数据结构。
所谓字典树，就是把前面几个字母一样的单词（不一定是单词，也可以是别的，因为单词较简单，这里用查找单词为例）放在一起，这样不但节省了空间，而且想找某个单词也比较容易，只要沿着字母顺序捋下来，看看有没有符合的就好。这样形成了一种树状结构，支持插入和删除操作。可能树状并不太好理解，那我们就画图来模拟一下。
首先我们插入单词 abc 和 bcd：

这时候我们再插入单词 abd，bc。这时候注意到前缀ab已经存在了，所以只需要在 ab 下面补上新的单词就行了。添加 bc 的时候我们发现，它就在字典树中，那这时候我们就要区分一下 bcd 和 bc 了，那么我们在每次插入单词的时候有意地去标记一下单词结尾：

差不多就是这个样子了。现在想要查询一下 abc，沿着红色的路径走下来，找到了 abc；想要查询一下 bc，沿着绿色的路径走下来找到了 bc。注意我们想要查询 ab 的时候就出了一些小问题：ab 在树里，但是 ab 并没有被标记成一个单词，所以也算是查询失败。
这就是大致思路了，下面我们来实现吧。

实现方式

首先我们自然想到用指针来实现，但是回过头想想，以存储单词（全是小写字母）为例，一个节点需要指出26个指针，那未免有点疯狂。所以我们这里选择用数组来建树。
我们直接用一道例题来说明：acwing.Trie字符串统计

维护一个字符串集合，支持两种操作：

1. I x 向集合中插入一个字符串 x；
2. Q x 询问一个字符串在集合中出现了多少次。
   共有 N 个操作，所有输入的字符串总长度不超过 10^5，字符串仅包含小>写英文字母。

输入格式
第一行包含整数 N，表示操作数。
接下来 N 行，每行包含一个操作指令，指令为 I x 或 Q x 中的一种。
输出格式
对于每个询问指令 Q x，都要输出一个整数作为结果，表示 x 在集合中出现的次数。
每个结果占一行。
数据范围
1≤N≤2∗10^4
输入样例：

5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab

输出样例：

1
0
1

不难看出，这是一道典型的字典树题目。不过我们需要多维护一个东西，也就是如果一个单词被插入了两次，那么在询问的时候要给出被插入的次数。这个好说，我们只要在每个单词结尾加一个计数器就好。重点是怎么用数组构造字典树，这也是最难的一部分。所以下面我们就来重点说说怎么实现数组字典树。

题目要求提到，总结点不会超过100000个，并且由于我们存储的是小写字母，想想上面美丽的插图，我们可以知道每个节点的“儿子”（也就是分支）不会超过26个。不需要思考，我们直接给出答案：开一个二维数组，第一维存储是哪个节点，第二维存储那个节点的儿子。还是很抽象，我们举个例子：
再次之前，我们要打破一个观念：数组是一种从开始到结尾的顺序结构。这里的数组会被我们使用的错综复杂。
现在要存储 abc

存储完是这样的一种样子。解释一下上面意思（这是最重要的，一定要看懂！！）：

1. 首先第一维的0（也就是第一行）代表根节点，第二维（也就是26列）代表26个字母。首先根节点多了一个分支 a ，这时候节点多了一个，就要找一行来代表多出来的这个节点，为了方便，我们一行一行的用。所以我们现在用到了第二行（代表第一个节点。第一行是根，不能用），这时候根节点的 a （第一列）就要指向第二行了，我们用到操作：

//son数组即我们构造的二维数组
son[0][0] = 1;

来代表根节点有一个子节点（“儿子”）a。这里可能有点绕，一定要理解这一步。
这一步总结起来就是：当前行的某一列元素指向其它行，代表当前行的子节点是指向的那一行，并且这个子节点存储的元素用当前行的列来表示。（这点很抽象，但是一定要懂，否则全部都无法理解）
具象化来说就是：第一行的第一列指向了第二行，代表第一行的子节点是第二行，并且这个子节点的元素是第一列（也就是 a ）。

2. 以此类推，第二行的第二列指向了第三行，代表第一个节点的子节点之一是第三行，并且这个子节点的元素是 b 。以此类推，第二个节点（第三行）的子节点之一是第四行，并且存储的元素是 c 。

到这里可能还比较好理解，下一步的理解难度要更高：插入一个单词 bcd 。
插入完后的数组是这样的：

为了清晰，我把后面的暂时截掉了（反正现在用不到后面的字母）。这就比较抽象了，但是我们理智的分析一下：
第一行的第二列指向了第五行，代表根节点现在有了一个新的子节点 b ，这个节点用第五行来表示（因为前面已经用了4个节点（一个根节点加上三个子节点 a b c ），所以只能从第五行开始用了）。理解了这一点，后面的就好说了，我们不再过多赘述。

现在我们进入最抽象的一步：插入单词 abd。操作完是这样的：

紫色是最新的操作。那么解释一下： ab 已经有了，所以可以直接用前面的第一行第一列指向第二行，第二行第二列指向第三行来表示 ab，然后这时候要给 b 添加一个节点d，所以我们从存储 b 的节点（也就是第三行）的第四列（代表d）引出一条线指向第八行（因为前七行已经被别人占用了），这样就代表了 b 有一个子节点 d ，并且存储在第八行。

不能理解的反复看看，记住一定要颠覆数组是顺序结构的这样一种固有观念。
下面我们用代码来实现所述，同时也是例题的题解：

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

//son用来构造树，cnt用来表示以每个节点结尾的单词插入了几次，idx表示当前用到了那个节点
//定义全局变量防止爆栈，同时全局变量自动初始化为0
int son[N][26], cnt[N], idx;
//用来存储输入的字符串
char str[N];

void insert(char * str)
{
    //从根节点开始
    int p = 0;
    //遍历当前字符串
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        //因为用的是int数组来建树，所以要把对应字符转化成数字
        int u = str[i] - 'a';
        //如果不存在需要的节点，那么就创建节点
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
        //推进当前查找进度
        p = son[p][u];
    }
    //单词计数器
    cnt[p] ++ ;
}

int query(char * str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {
        int u = str[i] - 'a';
        //找不到匹配的节点，那么就返回0
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        /*
        有好多测试点会输一些空格啊啥的，用字符串可以有效避免这些无效字
        符，所以即使用字符，也用数组存好一点
        */
        char op[2];
        scanf("%s%s", op, str);
        if (*op == 'I') insert(str);
        else printf("%d\n", query(str));
    }
    
    return 0;
}