算法设计与分析练习题答案

第一章

1. 答：由于算法具有有穷性、确定性和输出性，因而Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ正确，而解决某一 类问题的算法不一定是唯一的。答案为 C。
2. 答：选项 A 的时间复杂度为 O(n)。选项 B 的时间复杂度为 O(n2)。选项 C 的时间 复杂度为 O(log2n)。选项 D 的时间复杂度为 O(nlog2n)。答案为 C。
3. 答：算法是求解问题的一系列计算步骤。算法具有有限性、确定性、可行性、输 入性和输出性 5 个重要特征。
4. 答：（1）当 n 足够大时，(10n2-2n)/( n2)=10，所以
   第二章
5. 解：求 T(n)的过程如下：
   T(n)=T(n-1)+n=[T(n-2)+n-1)]+n=T(n-2)+n+(n-1)
   =T(n-3)+n+(n-1)+(n-2)
   =…
   =T(1)+n+(n-1)+…+2
   =n+(n-1)+ +…+2+1=n(n+1)/2=O(n2)。
   5 解：构造的递归树如图 1.10 所示，第 1 层的问题规模为 n，第 2 的层的子问题的问题规模为 n/2，依此类推，当展开到第 k+1 层，其规模为 n/2k=1，所以递归树的高度为log2n+1。
   第1层有1个结点，其时间为n，第2层有4个结点，其时间为4(n/2)=2n，依次类推，第k 层有4k-1个结点，每个子问题规模为n/2k-1，其时间为4k-1(n/2k-1)=2k-1n。叶子结点的个数为n 个，其时间为n。将递归树每一层的时间加起来，可得：
   T(n)=n+2n+⋯+2e^(k-1) n+⋯+n≈n*2=O(n^2)

6 解：采用主方法求解，这里a=4,b=2,f(n)=n^2
因此，n^log_b⁡a =n^log_2⁡4 =n^{2,他与f(n)一样大，满足主定理中的情况（2），所以T(n)=O(n}log_b⁡a log_2⁡n )=O(n^2 log_2⁡n)
第三章

1. 答：C。
2. 答：对于无序序列 a[low…high]进行快速排序，整个排序为“大问题”。选择其中的 一个基准 base=a[i]（通常以序列中第一个元素为基准），将所有小于等于 base 的元素移动 到它的前面，所有大于等于 base 的元素移动到它的后面，即将基准归位到 a[i]，这样产生 a[low…i-1]和 a[i+1…high]两个无序序列，它们的排序为“小问题”。当 a[low…high]序列只 有一个元素或者为空时对应递归出口。
   所以快速排序算法就是采用分治策略，将一个“大问题”分解为两个“小问题”来求 解。由于元素都是在 a 数组中，其合并过程是自然产生的，不需要特别设计。
   6.答：其中二路归并排序和折半查找算法采用分治策略。
   第四章
   1. 答：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，适用范围广，是能解决几乎所有 问题的一般性方法，常用于一些非常基本、但又十分重要的算法（排序、查找、矩阵乘法 和字符串匹配等），蛮力法主要解决一些规模小或价值低的问题，可以作为同样问题的更 高效算法的一个标准。而分治法采用分而治之思路，把一个复杂的问题分成两个或更多的 相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题直到问题解决。分治法在求解问题 时，通常性能比蛮力法好。
      第五章
3. 答：D。
4. 答：回溯算法是采用深度优先遍历的，需要借助系统栈结构来保存从根结点到当 前扩展结点的路径。答案为 C。
5. 答：回溯法解空间是虚拟的，不必确定整个解空间。答案为 A。
6. 答：B。
   第六章
7. 答：A。
8. 答：求解过程如下：
   （1）根结点 1 进队，对应结点值：e.i=0，e.w=0，e.v=0，e.ub=76，x:[0，0，0，0]。
   （2）出队结点 1：左孩子结点 2 进队，对应结点值：e.no=2，e.i=1，e.w=4， e.v=40，e.ub=76，x:[1，0，0，0]；右孩子结点 3 进队，对应结点值：e.no=3，e.i=1， e.w=0，e.v=0，e.ub=57，x:[0，0，0，0]。
   （3）出队结点 2：左孩子超重；右孩子结点 4 进队，对应结点值：e.no=4，e.i=2， e.w=4，e.v=40，e.ub=69，x:[1，0，0，0]。
   （4）出队结点 4：左孩子结点 5 进队，对应结点值：e.no=5，e.i=3，e.w=9， e.v=65，e.ub=69，x:[1，0，1，0]；右孩子结点 6 进队，对应结点值：e.no=6，e.i=3， e.w=4，e.v=40，e.ub=52，x:[1，0，0，0]。
   （5）出队结点 5：产生一个解，maxv= 65，bestx:[1，0，1，0]。
   （6）出队结点 3：左孩子结点 8 进队，对应结点值：e.no=8，e.i=2，e.w=7， e.v=42，e.ub=57，x:[0，1，0，0]；右孩子结点 9 被剪枝。
   （7）出队结点 8：左孩子超重；右孩子结点 10 被剪枝。
   （8）出队结点 6：左孩子结点 11 超重；右孩子结点 12 被剪枝。
   （9）队列空，算法结束，产生的最优解：maxv= 65，bestx:[1，0，1，0]。
   第七章
9. 答：C。
10. 答：n 皇后问题的解不满足贪心选择性质。答案为 B。
11. 答：由于背包问题可以取物品的一部分，所以总价值一定大于等于做 0/1 背包问 题。答案为 D。
12. 答：这里 n=215，哈夫曼树中 n1=0，而 n0=n2+1，n=n0+n1+n2=2n0-1， n0=(n+1)/2=108。答案为 B。
13. 答：在构造哈夫曼树时每次都是将两棵根结点最小的树合并，从而体现贪心的思路。
    第八章
14. 答：B。
15. 答：D。
16. 答：D。
17. 答：C。
    第九章
18. 答：D。
    2.答：采用类似 Kurskal 算法来求最大生成树，第 1 步取最大边（0，2），第 2 步取 边（0，1），第 3 步取边（0，4），第 4 步取最大边（1，3），得到的权和为 14。答案为 D。
    第11章
19. 答：B。