微积分 - 导数，微分基础

微积分

微积分（Calculus）研究的内容是函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）及其相关应用。本笔记来看微分相关知识。

微分

在说微分之前，先要来看看导数

导数

        导数（Derivative）定义：若()在点0 的某个邻域Δ内，如果极限

        

        存在，则称函数()在0点处可导，′ (0)称为()在0点处的导数，记作′ (0)或d(0)/d。

        定义看起来不直观，还是看图说话吧：

        

        上图是() = ^2的图像，在点（1,1）处的导数，从图形上看就是这个点切线的斜率。我们通过导数定义可以算出来导数是：

        

        高阶导数

        前面提到的关于()的在某点的导数定义是对()求了一次导（一阶导数）′ ()，如果对′ ()再次求导，会得到()的二阶导数，记为″ ()或，这个过程只要保证当前导数还可导就可以继续做下去,我们用来表示()的n阶导数。

        关于偏导数、方向导数和梯度等，后面的笔记再看，这篇笔记作为基础回顾先不看。

微分

        设函数()在0处连续，若存在实数A，使得

        

        其中,则称()在0处可微（differentiable）,并称线性部分为()在0处的微分（differential），记作dy。

微分和导数的联系(一元函数情况）

        ()在0处可微，当且仅当()在0处可导，并且微分值和导数值相等，导数也可以记作。

        证明：

        (1) 若函数 ()在0处可导,则其在0处连续，且极限

              

             存在，记这个极限值为A，则有

              （将A移到左边变为Ah/h, 然后根据极限的运算法则得到）

              这个极限可以改写成

              (根据无穷小的运算法则得到，f(x0 + h) - f(x0) - Ah是h的高阶无穷小）

              整理，可得

              

              这个等式成立，不就是可微的条件嘛，这样就证明了()在0处可导的时候，()在0处也可微。

        （2）若函数()在0处可微，则存在实数A，使得

               

               整理可得

               

               根据高阶无穷小定义，可以得到

               

               这个等式成立，就是()在0处可导的条件，因此()在0处可微，()在0处也可导。

参考资料

微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ? - 知乎

无穷小的运算（包括阶运算等）与等价无穷小 - 知乎