多条最短路径_边权_点权_数目_模板

从起点到终点的距离的最短距离最小的路径不止一条，
于是给定起点和终点，有2种及以上的最短距离的路径，
那么题目会这么问：
1.每条边再增加1个边权(比如花费)，
然后在最短路径有多条时，
求路径上的花费之和最小

2.给每个点增加1个点权(每个城市能收集到的物资),
然后在最短路径有多条时，
求路径上收集的物资之和最多

3.直接问有多少条最短路径

我们只需要再增加1个数组来存放新增的边权或点权或者最短路径条数
然后只需要在Dijkstra算法中修改d[v]的那个步骤即可
1.新增边权
边权—>花费
最短路径最少花费

1.路径长度更短，求花费
2.路径长度一样短，求最小花费

cost[u][v]表示u->v的花费
并增加1个数组c[]

令从起点s到达u的最少花费为c[u]
初始化时只有c[s]=0，其余c[u]=INF
这样就可以在d[u]+G[u][v]

而当d[u]+G[u][v]==d[]v(最短距离相同)时且c[u]+cost[u][v] 更新c[v]

for(int v=0;v<n;v++){
	if(vis[v]==false&&G[u][v]!=INF){
		if(d[u]+G[u][v]<d[v]){
			d[v]=d[u]+G[u][v];
			c[v]=c[u]+cost[u][v];
		}else if(d[u]+G[u][v]==d[v]&&c[u]+cost[u][v]<c[v])
			c[v]=c[u]+cost[u][v];
	}
}

2.新增点权

以weight[u]表示城市u中的物资数目
并增加1个数组w[]
初始化w[s]=weight[s]，其余w[u]=0

for(int v=0;v<n;v++){
	if(vis[v]==false&&G[u][v]!=INF){
		if(d[u]+G[u][v]<d[v]){
			d[v]=d[u]+G[u][v];
			w[v]=w[u]+weight[v];
		}else if(d[u]+G[u][v]==d[v]&&w[u]+weight[v]>w[v]){
			w[v]=w[u]+weight[v];
		}
	}
}

3.新增最短路径条数

只需要增加1个数组num[]
令起点s到达顶点u的最短路径条数为num[u]
初始化时，只有num[s]=1，其余num[u]=0

for(int v=0;v<n;v++){
	if(vis[v]==false&&G[u][v]!=INF){
		if(d[u]+G[u][v]<d[v]){
			d[v]=d[u]+d[u][v];
			num[v]=num[u];
		}else if(d[u]+G[u][v]==d[v])
			num[v]+=num[u];
	}
}