【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（5，设备更新问题）
系列文章
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（1，多阶段决策过程与动态规划基本概念）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（2，动态规划的基本思想与模型求解）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（3，资源分配问题）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（4，生产与储存问题）
【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（5，设备更新问题）
文章目录
- 系列文章
- 引言
- 五、设备更新问题
-
- 5.1 问题分析
- 5.2 算例
- 写在最后
引言
在工业和交通运输企业中，经常碰到设备陈旧或部分损坏需要更新的问题。从经济上来分析，一种设备应该用多少年后进行更新较为恰当，即更新的最佳策略如何，从而使在某一时间内的总收入达到最大（或总费用达到最小）。
五、设备更新问题
现以一台机器为例，随着使用年限的增加，机器的使用效率降低，收入减少，维修费用增加。而且机器使用年限越长，它本身的价值就越小，因而更新时所需的净支出费用就愈多。
设 I j ( t ) I_j(t) Ij(t) —— 在第 j j j 年机器役龄为 t t t 年的一台机器运行所得收入； O j ( t ) O_j(t) Oj(t) —— 在第 j j j 年机器役龄为 t t t 年的一台机器运行所需费用； C j ( t ) C_j(t) Cj(t) —— 在第 j j j 年机器役龄为 t t t 年的一台机器更新时所需净费用；
α \alpha α —— 折扣因子（ 0 ≤ α ≤ 1 0\leq \alpha \leq 1 0≤α≤1），表示 1 年以后的单位收入价值视为现年的 α \alpha α 单位； T T T —— 在第 1 年开始时，正在使用的机器的役龄； n n n —— 计划的年限总数；
g j ( t ) g_j(t) gj(t) —— 在第 j j j 年开始使用一个机器役龄为 t t t 年的机器时，从第 j j j 年至第 n n n 年内的最佳收入； x j ( t ) x_j(t) xj(t) —— 决策变量，表示在第 j j j 年开始时的决策。
5.1 问题分析
可以从两个方面对问题进行分析。若在第 j j j 年开始时购买了新机器，则从第 j j j 年至第 n n n 年得到的总收入应等于：在第 j j j 年中新机器获得的收入 — 在第 j j j 年的运行费用 — 在第 j j j 年开始时役龄为 t t t 年的机器的更新费用 + 第 j + 1 j+1 j+1 年开始使用役龄为 1 年的机器从第 j + 1 j+1 j+1 年至第 n n n 年的最佳收入。
若在第 j j j 年开始时继续使用役龄为 t t t 年的机器，则从第 j j j 年至第 n n n 年得到的总收入应等于：在第 j j j 年由役龄为 t t t 年的机器得到的收入 — 在第 j j j 年役龄为 t t t 年的机器的运行费用 + 在第 j + 1 j+1 j+1 年开始使用役龄为 t + 1 t+1 t+1 年的机器从第 j + 1 j+1 j+1 年至第 n n n 年的最佳收入。
通过比较两者大小来进行决策，则递推关系的数学表达如下： g j ( t ) = max { R : I j ( 0 ) − O j ( 0 ) − C j ( t ) + α g j + 1 ( 1 ) K : I j ( t ) − O j ( t ) + α g j + 1 ( t + 1 ) } g_j(t)=\max \begin{Bmatrix} R:&I_j(0)-O_j(0)-C_j(t)+\alpha g_{j+1}(1) \\ K:& I_j(t)-O_j(t)+\alpha g_{j+1}(t+1)\end{Bmatrix} gj(t)=max{R:K:Ij(0)−Oj(0)−Cj(t)+αgj+1(1)Ij(t)−Oj(t)+αgj+1(t+1)} 其中， j = 1 , 2 , ⋯ , n ; t = 1 , 2 , ⋯ , j − 1 , j + T − 1 j=1,2,\cdots,n;t=1,2,\cdots,j-1,j+T-1 j=1,2,⋯,n;t=1,2,⋯,j−1,j+T−1 ；字母 K K K 表示 keep ，保留；字母 R R R 表示 replacement ，更新机器。更新机器需要支付更新费用。
研究今后 n n n 年的计划，故添加边界条件 g n + 1 ( t ) = 0 g_{n+1}(t)=0 gn+1(t)=0 ；对于 g 1 ( t ) g_1(t) g1(t) 来说，允许的 t t t 值只能为 T T T ，因此此时未购入新机器，只有已经使用了 T T T 年的旧机器。
上述设备更新问题，是以机龄为状态变量，决策时保留或更新两种。如还考虑对机器进行大修作为一种决策，那时所需的费用和收入，不仅取决于机龄和购置的年限，也取决于上次大修后的时间。因此，必须使用两个状态变量对系统进行描述。
5.2 算例
【例】假设 n = 5 , α = 1 , T = 1 n=5,\alpha=1,T=1 n=5,α=1,T=1 ，有关数据如下表所示。试制定 5 年内中的设备更新策略，使得 5 年内的总收入达到最大。
解释一下表中数据的意思。第 j j j 年机龄为 t t t 年的机器，那么它的年序应该为 j − t j-t j−t 。因为第 j j j 年的时候，这台机器就已经使用了 t t t 年，说明它是第 j − t j-t j−t 年首次开始工作的。那么 I 5 ( 0 ) I_5(0) I5(0) 表示第 5 年的新机器运行的收入，查表，年序为 5-0=5 ，是 32 。 I 3 ( 2 ) I_3(2) I3(2) 表示第 3 年机龄为 2 年的机器运行所得收入，那么查表，3-2=1，第一年中机龄为 2 年的收入 20 。同理，有 C 5 ( 2 ) = 33 , C 3 ( 1 ) = 31 C_5(2)=33,C_3(1)=31 C5(2)=33,C3(1)=31 ，其余以此类推。
j = 5 j=5 j=5 ，即第 5 年时，由于 T = 1 T=1 T=1 ，说明第一年时的机器机龄就有 1 年了，那么第 5 年状态变量机龄 t t t 可取 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \{1,2,3,4,5\} {1,2,3,4,5} 。根据递推关系有 g 5 ( t ) = max { R : I 5 ( 0 ) − O 5 ( 0 ) − C 5 ( t ) + g 6 ( 1 ) K : I 5 ( t ) − O 5 ( t ) + g 6 ( t + 1 ) } g_5(t)=\max \begin{Bmatrix} R:&I_5(0)-O_5(0)-C_5(t)+g_{6}(1) \\ K:& I_5(t)-O_5(t)+g_{6}(t+1)\end{Bmatrix} g5(t)=max{R:K:I5(0)−O5(0)−C5(t)+g6(1)I5(t)−O5(t)+g6(t+1)} 可得到 g 5 ( 1 ) = max { R : 32 − 4 − 33 + 0 = − 5 K : 28 − 5 + 0 = 23 } = 23 , x 5 ( 1 ) = K g_5(1)=\max \begin{Bmatrix} R:&32-4-33+0=-5 \\ K:& 28-5+0=23\end{Bmatrix}=23,x_5(1)=K g5(1)=max{R:K:32−4−33+0=−528−5+0=23}=23,x5(1)=K g 5 ( 2 ) = max { R : 32 − 4 − 33 + 0 = − 5 K : 24 − 6 + 0 = 18 } = 18 , x 5 ( 2 ) = K g_5(2)=\max \begin{Bmatrix} R:&32-4-33+0=-5 \\ K:& 24-6+0=18\end{Bmatrix}=18,x_5(2)=K g5(2)=max{R:K:32−4−33+0=−524−6+0=18}=18,x5(2)=K g 5 ( 3 ) = max { R : 32 − 4 − 36 + 0 = − 8 K : 22 − 9 + 0 = 13 } = 13 , x 5 ( 3 ) = K g_5(3)=\max \begin{Bmatrix} R:&32-4-36+0=-8 \\ K:& 22-9+0=13\end{Bmatrix}=13,x_5(3)=K g5(3)=max{R:K:32−4−36+0=−822−9+0=13}=13,x5(3)=K g 5 ( 4 ) = max { R : 32 − 4 − 37 + 0 = − 9 K : 16 − 10 + 0 = 6 } = 6 , x 5 ( 4 ) = K g_5(4)=\max \begin{Bmatrix} R:&32-4-37+0=-9 \\ K:& 16-10+0=6\end{Bmatrix}=6,x_5(4)=K g5(4)=max{R:K:32−4−37+0=−916−10+0=6}=6,x5(4)=K g 5 ( 5 ) = max { R : 32 − 4 − 38 + 0 = − 10 K : 14 − 10 + 0 = 4 } = 4 , x 5 ( 5 ) = K g_5(5)=\max \begin{Bmatrix} R:&32-4-38+0=-10 \\ K:& 14-10+0=4\end{Bmatrix}=4,x_5(5)=K g5(5)=max{R:K:32−4−38+0=−1014−10+0=4}=4,x5(5)=K j = 4 j=4 j=4 ，第 4 年时，状态变量可取 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4} ，有 g 4 ( 1 ) = max { R : 30 − 4 − 32 + 23 = 17 K : 26 − 5 + 18 = 39 } = 39 , x 5 ( 1 ) = K g_4(1)=\max \begin{Bmatrix} R:&30-4-32+23=17 \\ K:& 26-5+18=39\end{Bmatrix}=39,x_5(1)=K g4(1)=max{R:K:30−4−32+23=1726−5+18=39}=39,x5(1)=K 同理，有 g 4 ( 2 ) = 29 , x 4 ( 2 ) = K ; g 4 ( 3 ) = 16 , x 4 ( 3 ) = K ; g 4 ( 4 ) = 13 , x 4 ( 4 ) = R . g_4(2)=29,x_4(2)=K;g_4(3)=16,x_4(3)=K;g_4(4)=13,x_4(4)=R. g4(2)=29,x4(2)=K;g4(3)=16,x4(3)=K;g4(4)=13,x4(4)=R.
j = 3 j=3 j=3 时，状态变量可取 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} ，有 g 3 ( 1 ) = 48 , x 3 ( 1 ) = K ; g 3 ( 2 ) = 31 , x 3 ( 2 ) = R ; g 3 ( 3 ) = 27 , x 3 ( 3 ) = R ; g_3(1)=48,x_3(1)=K;g_3(2)=31,x_3(2)=R;g_3(3)=27,x_3(3)=R; g3(1)=48,x3(1)=K;g3(2)=31,x3(2)=R;g3(3)=27,x3(3)=R;
j = 2 j=2 j=2 时，状态变量可取 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2} ，有 g 2 ( 1 ) = 46 , x 2 ( 1 ) = K ; g 2 ( 2 ) = 36 , x 2 ( 2 ) = R . g_2(1)=46,x_2(1)=K;g_2(2)=36,x_2(2)=R. g2(1)=46,x2(1)=K;g2(2)=36,x2(2)=R.
j = 1 j=1 j=1 时，状态变量可取 { 1 } \{1\} {1} ，有 g 1 ( 1 ) = max { R : 22 − 6 − 32 + 46 = 30 K : 18 − 8 + 36 = 46 } = 46 , x 1 ( 1 ) = K . g_1(1)=\max \begin{Bmatrix} R:&22-6-32+46=30 \\ K:& 18-8+36=46\end{Bmatrix}=46,x_1(1)=K. g1(1)=max{R:K:22−6−32+46=3018−8+36=46}=46,x1(1)=K. 最后，根据上面的计算结果回溯。第一年，机龄为 1 年，最佳策略为保留；第二年，机龄为 2 年，最佳策略为更新；第三年，机龄变为 1 年，最佳策略为保留；第四年，机龄为 2 年，最佳策略为保留；第五年，机龄为 3 年，最佳策略为保留。
写在最后
设备更新问题确实不简单，很有实际意义，不过，只要正确建好了模型，剩下的就是代数字进去算。回忆一下之前的生产与储存问题和资源分配问题，顿时感觉小巫见大巫了。
那到此，大纲要求的三个问题，到此就完结了，后面我们就来看看剩下的两章节内容。