36.骑士周游算法及其基于贪心算法的优化

概述

骑士周游算法，叫做“马踏棋盘算法”或许更加直观。在国际象棋8x8的棋盘中，马也是走“日字”进行移动，相应的产生了一个问题：“如果要求马 在每个方格只能进入一次，走遍全部的64个方格需要如何行进？”这就是著名的 骑士周游算法的由来。

思路

相信大家看到这个问题首先想到就是回溯。
马踏棋盘问题(骑士周游问题) 实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
如果使用回溯(就是深度优先搜索) 来解决，假如马儿踏了53个点，走到了第53个，坐标(1,0)，发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯。

基于回溯的解决方案

1. 创建棋盘chessBoard,是一个二维数组；
2. 将当前位置设置为已经访问，然后根据当前位置，计算马还能走哪些位置，并放入到一个集合中（ArrayList）,最多有8个位置，每走一步，就使用step+1;
3. 遍历arrayList中存放的所有位置，看看哪个可以走通；
4. 判断马儿是否完成了任务，使用step和应该走的步数（即棋盘格子数-1）比较，如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0；
   注：马 不同的走法（策略），会得到不同的结果，效率也会有影响（优化）。

代码实现

public class HorseChessBoard {
    private static int X;//棋盘的列数
    private static int Y;//棋盘的行数
    //创建一个数组， 标记棋盘的各个位置是否被访问过
    private static boolean visited[];
    //试用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问过了
    private static boolean finished;//如果为true,表示成功

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("开始执行骑士周游算法~");
        //测试
        X = 8;
        Y = 8;
        int row = 1;//马儿初始位置的行，从1开始编号
        int column = 1;//马儿初始位置的列，从1开始编号
        //创建棋盘
        int[][] chessboard = new int[X][Y];
        visited = new boolean[X*Y];//初始值都是false
        //测试一下耗时
        long start = System.currentTimeMillis();
        traversalCheessBoard(chessboard,row-1,column-1,1);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("共耗时"+(end - start)+"ms");

        //输出棋盘的最终状况
        for (int[] rows : chessboard) {
            for (int step : rows) {
                System.out.print(step+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("骑士周游算法结束");
    }

    /**
     * 骑士周游问题算法
     * @param chessBoard 棋盘
     * @param row 马儿当前位置的行 从0开始
     * @param column 马儿当前位置的列 从0开始
     * @param step 是第几步，初始位置是第1步
     */
    public static void traversalCheessBoard(int[][] chessBoard,int row,int column,int step){
        chessBoard[row][column] = step;
        //row = 4; X=8; column=4; 4*8+4=36;
        visited[row*X+column] = true;//标记该位置已经访问
        //获取当前位置可以走的下一个位置的集合
        ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
        //遍历ps
        while (!ps.isEmpty()){
            Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
            //判断该点是否已经访问过
            if(!visited[p.y*X+p.x]){//说明还没访问过
                traversalCheessBoard(chessBoard,p.y,p.x,step+1);
            }
        }
        //判断马儿是否完成了任务，使用step和应该走的步数（即棋盘格子数-1）比较，
        //如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0；
        //说明： step
        //1.棋盘到目前位置，仍然没有走完
        //2.棋盘处于回溯过程
        if (step<X*Y&&!finished){
            chessBoard[row][column]=0;
            visited[row * X + column] = false;
        }else {
            finished = true;
        }
    }

    /**
     * 根据当前位置（Point） ,计算马儿还能走哪些位置（Point）,并放入到一个集合中（ArrayList）,最多有八个位置
     * @param curPoint
     * @return
     */
    public static ArrayList<Point> next(Point curPoint){
        //创建一个ArrayList
        ArrayList<Point> ps = new ArrayList<>();
        //创建一个Point
        Point p1 = new Point();
        //判断马儿下一步是否可以走，若可以，将这个位置放入集合
        //判断马儿是否可以走  位置5
        if ((p1.x=curPoint.x-2)>=0 && (p1.y = curPoint.y-1)>=0){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置6
        if ((p1.x=curPoint.x-1)>=0 && (p1.y = curPoint.y-2)>=0){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置7
        if ((p1.x=curPoint.x+1) < X && (p1.y = curPoint.y-2)>=0){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置0
        if ((p1.x=curPoint.x+2) < X && (p1.y = curPoint.y-1)>=0){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置1
        if ((p1.x=curPoint.x+2) < X && (p1.y = curPoint.y+1)< Y){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置2
        if ((p1.x=curPoint.x+1)<X && (p1.y = curPoint.y+2)<Y){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置3
        if ((p1.x=curPoint.x-1)>=0 && (p1.y = curPoint.y+2)<Y){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        //判断马儿是否可以走  位置4
        if ((p1.x=curPoint.x-2)>=0 && (p1.y = curPoint.y+1)<Y){
            ps.add(new Point(p1));
        }
        return ps;
    }
}

效率分析

采用回溯的方案思路上自然是可行的，那么它的效率究竟如何呢？可以说很不乐观！测算下来差不多要40秒左右，优化的空间很大。

回溯分析与贪心优化

我们思考可以在此思考一下上面解决方案的是否有可以优化的地方？能否用贪心算法进行优化呢？

1. 我们获取当前位置，可以走的下一个位置的集合：
   ArrayList ps = next(new Point(column,row));
2. 需要对ps中所有Point 下一步的所有集合数目进行非递减排序；
   a. 递减是：9，7，6，5，4…
   b. 递增排序：4，5，6，7，8…
   c. 非递减排序： 1，2，2，3，3，4，4，4，4，4，4，4，5，8，10…
   d. 非递增排序： 9，9，9，8，7，5，3…
3. 如果下一步的选择越少，意味着回溯时的步骤越少，相应的效率也会越高，所以我们应该采用非递减排序，使得回溯的代价尽可能的低。

核心优化代码

我们不妨编写一个方法，根据当前这一步的所有下一步的选择位置，进行非递减排序，以求减少回溯的次数

public static void sort(ArrayList<Point> ps){
        ps.sort(new Comparator<Point>(){
            @Override
            public int compare(Point o1, Point o2) {
                //获取到o1的下一步的所有位置个数
                int count1 = next(o1).size();
                //获取到o2的下一步的所有位置个数
                int count2 = next(o2).size();
                if (count1<count2){
                    return -1;
                }else if (count1==count2){
                    return 0;
                }else {
                    return 1;
                }
            }
        });
    }

这样，在上面的回溯算法中，我们可以先对ps进行排序处理，再进行后面的测算

		//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
        ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));

		//对ps进行排序，排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置数目进行非递减排序
        sort(ps);

        //遍历ps
        while (!ps.isEmpty()){
            Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
            //判断该点是否已经访问过
            if(!visited[p.y*X+p.x]){//说明还没访问过
                traversalCheessBoard(chessBoard,p.y,p.x,step+1);
            }
        }

效率分析

经过贪心算法的优化后，相同的配置下，测算时间直接降到了50ms，效率比之前提升600倍。还是很可观的提升的。

小结

本节，先是采用回溯算法对骑士周游问题进行了拆解，而后利用贪心算法对回溯算法进行了优化解决了骑士周游问题。相信借此我们对贪心算法的应用应该都有了更深层次的理解，算法千万条，应用第一条，只有在合适的场景才能发挥出其最大的作用。

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