浅谈图论-1.1图的几种存储方式以及连通

前言

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图，不是可以三言两语说得通的数据结构，比如树严格来说也是一种图，如果树中带环，就变成了图。

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正文

如果不知道本节的重点，请先阅读标题。接下来我们直接开始。

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首先，图你可以通俗的理解为几座城市，比如ABCD四座，A和B之间有城际公路，B和C有城际公路，D没有往外的城际公路，那么只要是个酱紫就知道A可以去B去C，B可以去A去C，C可以去A去B，D无处可去。在图中，我们把“城际高速”称为边，城市称作点或结点，而像D这样的城市叫“孤点”或“孤岛”。很通俗易懂，对吧？
然后是单向图与无向图，仍然通过举例来说明。
假设A点和B点连通，
但只能从A点去B点，这就是单向连通；
如果A点可以去B点，B点也可以去A点，这就是双向连通。

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那么你可能会说，这样讲图不就是个数学模型嘛？编程上不是什么用也没有吗？那么我们现在引入两个概念，及出度and入度。你可以这么想，一个结点可以直接去到的结点的个数（不可以绕路）叫做出度，而可以直接去到该结点的结点个数（不可以绕路）叫做入度。

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还是很简单的道理，有了以上概念，还是要进入代码环节。如何存储图呢？（提前预告一下，关于图的其他知识，比如图的搜索、洪水填充、完全图等知识会在下一节提到）

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关于存储图的方法，可谓是群英集萃，目前作者已知的有4种，邻接矩阵、邻接点列表以及结构体数组和链式前向星。下文会分开赘述。

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邻接矩阵

顾名思义，邻接矩阵就是把图的结点的连通关系保存在一个矩阵中。
优点很明显，就是可以很清楚地知道A点与B点是否连通。
但缺点也很多，比如空间的限制，假设我现在有10000个结点，a[10001][10001] 这么大的数组是开不出来的。
接下来演示邻接矩阵的存储方法。

#define MAXN 1008
bool a[MAXN][MAXN];
int n,m,nodex,nodey;
cin>>n>>m; // 有n个点,m个邻接关系
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>nodex>>nodey;
	a[nodex][nodey]=1; 
	// a[nodey][nodex]=1; 这一句只有双向连通时使用
}

我相信这应该是图最简单的存储方式了。

邻接点列表

作者本人也是十分喜欢这种存储方式的。
优点是可以罗列出每一个点的所有直接连通点。
缺点也很明显，空间仍然可以hack该方法。

vector<vector<int> > aplist(1001);
int a,b;
cin>>a>>b;
aplist[a].push_back(b);
aplist[b].push_back(a); // 如果是单向连通这句就不要了

因为一个点可能有许多直接连接点，所以vector还是很不错的选择。

结构体数组

应该是最LJ的图存储方式了，通常用struct或pair实现，这里演示struct。
优点：好像莫得
缺点：不可以直接明了的表示结点与结点的连通关系，甚至不如静态数组？

const int MAXN=1008;
struct node{
	int x,y;
}a[MAXN];
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>a[i].x>>a[i].y;
}

链式前向星

听名字就知道贼高端，但是需要先掌握链表的知识，接下来仅展示一个模板

#include 
using namespace std;
struct node{
	int v;
	int w;
	int next;  //下一条边的编号
};
int head[10001];// 头，出
node edge[1000000]; // 第i条边
int cnt;
void add(int x,int y,int z){
	edge[cnt].v=y;
	edge[cnt].w=z;
	edge[cnt].next=head[x];
	head[x]=cnt++;
	return ;
}
int main (){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	int i;
	for(i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);//无向图才要写
	}
	//遍历节点1的所有出边
	for(i=head[1];~i;i=edge[i].next){
		// 呱啦呱啦
	}
	return 0;
}

其实还是比较简单的啦。

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