动态规划算法（2）--最大子段和与最长公共子序列
目录
一、最大子段和
1、什么是最大子段和
2、暴力枚举
3、分治法
4、动态规划
二、最长公共子序列
1、什么是最长公共子序列
2、暴力枚举法
3、动态规划法
4、完整代码
一、最大子段和
1、什么是最大子段和
子段和就是数组中任意连续的一段序列的和，而最大子段和就是寻找子段和里最大的一个值。下面的解释中S[l,r]会用来表示l到r的子段和，l和r分别表示左值和右值。
最大子段和一般有三种解决方案：暴力枚举法，分治法，动态规划法。下面将逐个介绍。
2、暴力枚举
暴力枚举就是遍历所有的子段和，寻找最大的子段和，时间复杂度
。相对无脑，直接贴上代码。
//暴力枚举法
public static int maxsize_violate(ArrayListarr,int left, int right)
{
int max=-99999999;
for(int i=left;i<=right;i++)
{
int sum=0;
for(int j=i;j<=right;j++)
{
for(int k=i;k<=j;k++)
{
sum+=arr.get(k); //最大值来源
}
if(sum>max)
max=sum;
sum=0;
}
}
return max;
} 3、分治法
将每个问题分解为三个小问题，左一半的子段和，右一半的子段和，（必须）跨区域的子段和。
伪代码如下，可以看到左子段和与右子段和都是递归求解（3、4），跨区域的一定是左右两个子段和最大值的和（5、6、7），最后选择左子段和、右子段和、跨域子段和中最大的子段和（8、9）。
完整代码：
//分治法
public static int maxsize(ArrayListarr, int left, int right){
int sum=0,midSum=0,leftSum=0,rightSum=0;
int center,s1,s2,lefts,rights;
//左右相等，返回左值
if (left==right){
sum=arr.get(left);
}
//否则，分治法
else {
center=(left+right)/2;
leftSum=maxsize(arr,left,center); //left，l+r/2 //左区间最大值
rightSum=maxsize(arr,center+1,right); //l+r/2+1，right //右区间最大值
//后面都是在计算跨区域最大值（必须跨区域），一定是左区间贴近边界的最大值加右区间贴近边界的最大值相加。
s1=0;lefts=0; //s1存左侧区间最大值，lefts作为temp
for (int i=center;i>=left;i--){
lefts+=arr.get(i);
if (lefts>s1){
s1=lefts;
}
}
s2=0;rights=0; //s2存右侧区间最大值，rights作为temp
for (int j=center+1;j<=right;j++){
rights+=arr.get(j);
if (rights>s2){
s2=rights;
}
}
midSum=s1+s2; //中间跨域的等于左侧加右侧的
if (midSum 4、动态规划
动态规划法是自底向上推导，假设
为第i个数，
为包含最后一个数的连续子段和，sum为最大子段和。
建立于下面图这个关系，假设已经有到
的子段和
,那么加入后一个
生成
只有两种可能：
（1）
,那么
（2）
,那么
对于
的每一个，都要与sum取最大值，保证sum为
到中最大的值，返回sum。
完整代码：
//动态规划法
public static int maxsum(ArrayListarr, int n)
{
int sum=-999999;int b=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(b>0)
b+=arr.get(i);
else
b=arr.get(i);
if(b>sum)
sum=b;
}
return sum;
} 二、最长公共子序列
1、什么是最长公共子序列
子序列是指序列中任意不一定连续但顺序的若干个字符组成的序列。如下图中Z1={B,C,A}为X的子序列，B,C,A三个字符在X中顺序出现，且不一定连续。
公共子序列就是指两个序列之间存在一个共同的子序列，而我们就是要找到最长的一个公共子序列。
2、暴力枚举法
暴力枚举法，不仅占用了相当大的内存存放所有子序列，和所有公共子序列，而且浪费了巨大的时间，时间复杂度指数级
。
3、动态规划法
动态规划法仍然是这种自底向上的算法，讨论前一项的最长公共子序列通过比较两个序列下一个值，判定是否进入子序列。动态规划法的时间复杂度为O（mn）。
使用c[i][j]数组记录
和
的最长公共子序列长度， b[i][j]数组记录子序列的产生情况。c数组存在下面的递归结构成立，与b数组的关系如下，根据这个递推式，可以写出c和b数组的生成函数。
| c[i][j]=c[i-1][j-1]+1 |
b[i][j]=1 |
↖ |
| c[i][j]=c[i-1][j] |
b[i][j]=2 | ↑ |
| c[i][j]=c[i][j-1] |
b[i][j]=3 | ← |
如何构造最长子序列？
就是根据b数组的指引，倒推子序列，所有b[i][j]=1，也就是b数组指引为左上箭头的，都是公共序列的值，将他们按顺序串接就得到了最大子序列。
注意一个问题，X序列是y轴方向的，Y序列是x轴方向的。
4、完整代码
//最长公共子序列
import java.util.Scanner;
public class LCS {
public static void main(String [] args)
{
String x=new Scanner(System.in).nextLine();
String y=new Scanner(System.in).nextLine();
int m=x.length();int n=y.length();
int [][]c=new int[m+1][n+1];
int [][]b=new int[m+1][n+1];
LCSLength(x, y, c, b);
for(int i=0;i=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
}
}
}
//构造最长公共子序列
public static void BuildLCS(int i,int j,String x,int[][]b)
{
if(i==0|j==0)
{
return;
}
if(b[i][j]==1)
{
BuildLCS(i-1, j-1, x, b);
System.out.print(x.charAt(i-1));
}
else if(b[i][j]==2)
{
BuildLCS(i-1,j,x,b);
}
else
{ BuildLCS(i, j-1, x, b);
}
}
}