整除与最大公约数

定义 1

a，b 为整数，如果 , ，a 必定能整除 b， 记为  (读作 a 整除 b)。

定理 1

假设 ，且 , 则任何   都有 。

证明过程:

由  可知, 存在  使得 ;

两边乘以 c 得到 ，，

所以 。

定理 2

如果  且 ，那么必有 。

证明过程: 

由  可知，存在  使得 ; 

由  可知，存在  使得 ；

进而得到 , 又, 

所以 。

定理 3

如果  且 ，则任何  都使得 。

证明过程:

由可知，存在  使得 ；

由可知，存在  使得 ；

进而 ，又 ，

所以 。

定义 2

能同时整除非零整数 a，b，且为其中最大的数是这两个数的最大公约数(greatest common divisors)，记为 。

公理 1

两数互质，其最大公约数必为 1。

定理 3

定理 5

能整除两数之差，必定与两数有相同的最大公约数。即

 

证明过程:

由  可知必定存在 :

， 使得：

 

由此可知, 当 r 等于 0 时，

当 r 大于0 时，，

假设 , 则有

定理 5

假设 a，b 均为非0整数。以a 为被除数 ，b 为除数相除，求余得 r；用除数作为下一轮的被除数, 用余数作为下一轮的除数求余，以此类推；直到求出最后一个不为0的余数，即为 a，b的最大公约数。