穿越沙漠问题

逆推思想也被称为倒推法，常常被用来解决 已知结果推导过程 的问题。

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1. 引入：一个简单的猴子吃桃问题。

题目描述

一只小猴买了若干个桃子。第一天他刚好吃了这些桃子的一半，又贪嘴多吃了一个；接下来的每一天它都会吃剩余的桃子的一半外加 $1$ 个。第 $n$ 天早上起来一看，只剩下 $1$ 个桃子了。请问小猴买了几个桃子？

输入格式

输入一个正整数 $n$，表示天数。

输出格式

输出小猴买了多少个桃子。

样例 #1

样例输入 #1

4

样例输出 #1

22

分析：

我们假设第n天的剩余桃子数为a_n
那么根据题目即可得到一个表达式：a_n = a_n-1 - (a_n-1 / 2 +1) = a_n-1 / 2 - 1
整理上式即可知道：a_n-1 = (1 + a_n) * 2

代码如下：

#include 
using namespace std;
int main() {
    int n,peach=1;
	cin>>n;
	
	for(int i=n;i>1;i--)
		peach = (1+peach)*2;	//不断更新peach
	
	cout<<peach;
}

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2. 穿越沙漠问题

题目描述

一辆吉普车来到 $1000$ km宽的沙漠边沿。吉普车的耗油率为 $1$ 加仑/km，吉普车的总装油量为500L。由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普以最少耗油量穿越沙漠，应在什么地方设置油库，并求出此油库的储油量是多少。

分析

根据最大储油量和沙漠距离可判断，距离终点最近的加油点 A₁ 应在距离500km处。

要使 A₁ 点有500L的储油，那么汽车必须要运油至该点。
但又要让油耗最低，所以当移动次数为奇数时最为省油。
我们推理出1次必然是不可能的，那么考虑移动3次的情况
由于三次移动要让 A₁ 点储油500L，画出分析图如下：

继续推理可知，A₂ 点的油量需要支撑 A₁ 的存储和移动中的油耗，故而可以知道 A₂ 的储油量为1000L。
要支持该点的储油量吉普移动 3 次的效果还不能达到要求，又要考虑奇数移动次数，那么最小的移动次数为 5 次

之后的加油点也如此推理即可，在此就不再赘述。
最终的结果为：
从终点开始，分别间隔500，500/3，500/5，500/7 ···(km)处设立加油点，
每个加油点的储油量为500，1000，1500，2000····(L)。

代码如下：

#include 
using namespace std;

#define ll long long

const ll DIS=1000;	//沙漠的距离
const ll OIL=500;	//吉普油箱最大储油量

int main() {
	ll oil = OIL;	//该点的储油量，A1点为油箱最大储油量
    ll dis = OIL;	//距离终点的距离，A1点为油箱最大储油量
    int i;
    for(i=2 ; dis < DIS ;i++){
		cout<< "该加油点距离终点：" << dis <<"km,储油量为：" << oil <<endl;
		dis += OIL/(2*i-1);
		oil += OIL;
	}
	oil += (DIS-dis) * (2*i-1);
	cout<< "该加油点距离终点：" << DIS <<"km,储油量为：" << oil <<endl;
}

运行结果如下：

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你悟解了吗？