一、多项式求逆
- 给定一个多项式 \(F(x)\)，请求出一个多项式 \(G(x)\)， 满足 \(F(x) * G(x) \equiv 1 ( \mathrm{mod\:} x^n )\)。系数对 \(998244353\)取模。
- 考虑递归求解，当\(F\)的最高次为\(0\)时，\(G_0=F_0^{-1}\)
- 假设我们知道了\(F(x)\)在模\(x^{\left \lceil \frac{n}{2}\right \rceil}\)意义下的逆元\(G'\)
- 那么\(F∗G′≡1(\mathrm{mod\:} x^{\left \lceil \frac{n}{2}\right \rceil})\)且\(F∗G≡1(\mathrm{mod\:} x^{\left \lceil \frac{n}{2}\right \rceil})\)
- 因此 \(G-G'\equiv 0(\mathrm{mod\:} x^{\left \lceil \frac{n}{2}\right \rceil})\)
- 然后两边平方：\((G-G')^2\equiv 0(\mathrm{mod\:} x^n)\)
- 所以\(G^2-2GG'+G'^2\equiv0(\mathrm{mod\:} x^n)\)
- 通乘\(F\)后，由于\(F*G \equiv0(\mathrm{mod\:} x^n)\),所以\(G-2G'+FG'^2\equiv0(\mathrm{mod\:} x^n)\)
- 最后得到\(G\equiv2G'-FG'^2(\mathrm{mod\:} x^n)\)
- 总复杂度\(O(n \log n)\)
二、分治FFT
- 在求卷积的时候，如果后面的数字基于前面的数字，朴素的\(FFT\)就会退化至\(O(n^2 \log n)\)
- 考虑\(cdq\)分治
- 我们先求出\(l \rightarrow mid\)的答案，然后考虑它对$mid+1 \rightarrow r $的贡献。
- 显然，对于\(mid+1 \rightarrow r\)中\(x\)贡献是:
\[ \sum_{i=l}^{mid}f[i]g[x-i] \]
- 贡献可以用\(FFT\)计算
- 总复杂度\(O(n \log n)\)
传送门luoguP4721 【模板】分治FFT
Description
给定长度为 \(n-1\)的数组$ g[1],g[2],..,g[n-1]g[1],g[2],..,g[n−1]$，求 \(f[0],f[1],..,f[n-1]f[0],f[1],..,f[n−1]\)，其中
\[f[i]=\sum_{j=1}^if[i-j]g[j]\]
边界为 \(f[0]=1\) 。答案模 \(998244353\) 。
Code-多项式求逆版
由题可知：
\[ f*g=f-1 \]
所以：
\[ f\equiv(1-g)^{-1}(\mathrm{mod\:} x^n) \]
直接多项式求逆就可以啦
复杂度\(O(n\log n)\)
#include
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define swap(a,b) (a^=b^=a^=b)
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
#define mod 998244353
#define g 3
#define invg 332748118
#define MN 2097152
ll a[MN],b[MN],c[MN],N,di,invN;
int pos[MN];
bool now;
inline ll fpow(ll x,int m){ll res=1;for(;m;m>>=1,x=x*x%mod) if(m&1)res=res*x%mod;return res;}
inline void NTT(ll *a,int type)
{
register int i,j,p,k;
for(i=0;i0?g:invg,(mod-1)/(i<<1));
for(p=i<<1,j=0;j>1,a,b);
for(N=1,di=0;N<(n<<1);N<<=1,++di);
register int i;invN=fpow(N,mod-2);
for(i=0;i>1]>>1)|((i&1)<<(di-1));
for(i=0;i Code-分治FFT版
复杂度\(O(n\log^2 n)\)
#include
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
#define mod 998244353
#define g 3
#define invg 332748118
#define MN 262144
ll G[MN],F[MN],N,di,pos[MN],A[MN],B[MN],invN;
inline ll fpow(ll x,int m){ll res=1;for(;m;m>>=1,x=x*x%mod) if(m&1)res=res*x%mod;return res;}
inline void NTT(ll *a,int type)
{
register int i,j,p,k;
for(i=0;i0?g:invg,(mod-1)/(i<<1));
for(p=i<<1,j=0;j>1,i,len=r-l+1;
cdqNTT(a,b,l,mid);
for(N=1,di=0;N>1]>>1)|((i&1)<<(di-1));
invN=fpow(N,mod-2);
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