C++数据结构与算法分析——Floyd算法

介绍

Floyd算法是一种求多源汇最短路的算法，它可以求出任意两点间的最短距离(如果这两点连通的话)，并且Floyd算法非常容易实现：

算法模板$O(n^3)$

for(int k = 1; k <= n; k ++)
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= n; j ++)
			d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k] + d[k][j]);

它总共有3层循环，每层n次，所以时间复杂度为$O(n^3)$

Floyd算法的基本应用

例题

题目描述

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
再给定k个询问，每个询问包含两个整数x和y，表示查询从点x到点y的最短距离，如果路径不存在，则输出impossible。
数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数n,m,k。
接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y，表示询问点x到点y的最短距离。

输出格式

共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出impossible。

数据范围

$1\le n\le 200$,
$1\le k\le n^2$
$1\le m\le 20000$,
图中涉及边长绝对值均不超过$10000$。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

算法设计

本题题意很简单，给定k个询问，每个询问给出两个点，让我们输出这两点的最短距离，如果这两点不在同一连通块就输出impossible
这正完美契合了Floyd算法，因此我们只要将细节处理一下即可(由于Floyd模板中用到了k，因此代码会将此处的k换成Q)
代码初始化：将$d[i,i]$都初始化为0，其余初始化为+∞，因为从i到i的距离是为0的，要求最小值，所以其它距离刚开始时要为∞，后续才能顺利地更新

代码

#include
using namespace std;

const int N = 210,M = 20010,INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m,Q;
int d[N][N]; // d[i][j] 表示从i到j的距离

void floyd(){
    for(int k = 1; k <= n; k ++)
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 1; j <= n; j ++)
                d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k] + d[k][j]);
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
    
    // 初始化
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++){
            if(i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
        }
    
    // 加边
    while(m --){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        
        d[a][b] = min(d[a][b],c); // 两点之间如果有多条边，那么选最短的边即可
    }
    
    // floyd
    floyd();
    
    // 处理询问
    while(Q --){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        
        if(d[a][b] > INF / 2) puts("impossible"); // 边权可能有负数，所以不会直接等于INF
        else printf("%d\n",d[a][b]);
    }
    
    return 0;
}

Floyd算法的证明

说是证明，其实不如说是原因，为什么Floyd算法的代码实现是这样的呢？(因为我是先学的板子才学的为什么，所以这里也姑且这么写)
这一切都要从动态规划开始说起。
用闫氏DP分析法：

1. 状态表示：我们用$d[k,i,j]$表示从i走到j，且中间经过的点的编号不超过k的所有路径长度的最小值，什么叫做中间经过点的编号不超过k呢？假设i到j中间经过所有点为$a_1,a_2,...,a_m$，那么这m个点的编号值都$<=k$，注意不要与总共经过不超过k个点混淆。

2. 状态计算：$d[k,i,j]$的计算可以分为两类：

   1. 从i走到j，且中间经过的点的编号不超过k且不包含k的所有节点路径：那么它就等价于从i走到j且经过的点的编号不超过k - 1的所有路径的最小值，即$d[k-1,i,j]$

   2. 从i走到j，且中间经过的点的编号不超过k且包含k的所有节点路径：那么我们就会发现，它一定会从i走到k，并且一定会从k走到j，因此我们可以将它分为两段之和：

      1. 从i走到k，且中间经过的点的编号不超过k - 1的所有节点路径的最小值，即$d[k-1,i,k]$
      2. 从k走到j，且中间经过的点的编号不超过k - 1的所有节点路径的最小值，即$d[k-1,k,j]$

      并且前后两段是没有关系的，所以这种情况的表示就是$d[k-1,i,k]+d[k-1,k,j]$

   因此，我们可以得出$d[k,i,j]=min(d[k-1,i,j],d[k-1,i,k]+d[k-1,k,j])$

3. 优化：我们在01背包中已经知道DP问题的状态转移方程可以降维，那么此刻我们发现状态转移方程的第一维只和$k,k-1$有关，那么能否把它也降维呢？
   只需要看看当计算到$d[k,i,j]$时使用的k是当前的k还是上一个k即可，此时我们考虑特殊情况：当k = j时，$d[k,i,j]=min(d[k-1,i,j],d[k-1,i,j]+d[k-1,j,j])$，由于刚开始初始化时我们将从i到i的距离都初始化为0了，因此状态转移等价于$d[k,i,j]=min(d[k-1,i,j],d[k-1,i,j]+0)$相当于没有运算，因此每次的$d[k,i,j]$都必然是第k - 1层的$d[k-1,i,j]$，所以可以将第一维去掉，最终状态转移方程为$d[i,j]=min(d[i,j],d[i,k]+d[k,j])$

Floyd算法的扩展应用

Floyd可以应用于许多方面。

1. 求多源汇最短路
2. 求传递闭包
3. 找最小环
4. 求恰好经过k条边的最短路(用倍增思想)