【算法思想篇】Floyd算法即将跌落神坛

Floyed算法又被称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，与Dijkstra算法类似；

在计算机科学中，Floyd-Warshall算法是一种在具有正或负边缘权重（但没有负周期）的加权图中找到最短路径的算法。算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径的长度（加权）。虽然它不返回路径本身的细节，但可以通过对算法的简单修改来重建路径。该算法的版本也可用于查找关系R的传递闭包，或在加权图中所有顶点对之间的最宽路径。

核心思路：

路径矩阵：

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n*n开始，递归进行n次更新，即由矩阵D（0）=A,按一个公式，构造出矩阵D（1）；又用同样的公式由D(1)构造出D（2）；……最后又用同样的公式由D（n-1）构造出矩阵D（n）.矩阵D（n）的i行j列就是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

状态转移方程：

其状态转移方程如下：map[i,j]=min{map[k,j],map[i,j]};

map[i,j]表示i到j的最短距离，k是穷举i，j的断点，map[n,m]的初始值应该为0，或者按照题目意思来做；

当然如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路。

 算法过程：

1.从任意一条单边路径开始，所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2.对每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比已知的路径更短。如果是更新他；

时间复杂度：O(n^3)

空间复杂度：O(n^2)

优缺点分析：

Floyd算法适用于多源最短路问题，是一种动态规划算法，稠密图效果更佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行v次dijkstra算法，也要高于v次spfa算法；

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。

缺点:时间复杂度比较高，不适合大量数据；