Floyd多源最短路径算法

一、理论基础

Floyd算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题。
在Floyd算法中一般有两个矩阵，一个距离矩阵$D$，一个路由矩阵$R$，其中距离矩阵用于存储任意两点之间的最短距离，而路由矩阵则记录任意两点之间的最短路径信息。
其思想是：如果可以从一个点进行中转，就进行比较从这个点中转和不中转的距离，存储距离小的情况，并更新距离矩阵和路由矩阵。
从算法思想中我们可以大概推断我们要遍历$n$个中转点，在每个中转点进行操作的时候，需要对任意两点之间 的距离进行遍历。那么算法就应该有三重循环，第一重循环是遍历中转点，第二重和第三重循环是遍历任意两个点之间的距离。假设中转节点为K，如果：$$D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)$$其中$D(i,k)+D(k,j)$表示$i$到$j$从$k$中转的距离，$D(i,j)$表示从$i$到$j$的最短距离，如果前者比后者小，那么就$D(i,j)$进行更新：$D(i,j)=D(i,k)+D(k,j)$，这样就更新了距离矩阵；并且更新路由矩阵：$R(i,j)=R(i,k)$
更多细节请参考：https://blog.csdn.net/kabuto_hui/article/details/82886826

二、MATLAB实现

代码如下：

clear;clc;
a = [0 2 6 4;
    inf 0 3 inf;
    7 inf 0 1 ;
    5 inf 12 0];
[d, r] = floyd(a)
disp('--------------------------')
for i = 1:4
    for j = 1:4
        DisplayPath(r, i, j);
    end
end
function [d, r] = floyd(a)
%% 采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路
% d是矩离矩阵
% r是路由矩阵
n = size(a, 1);
% 初始化距离矩阵
d = a;
% 初始化路由矩阵
for i = 1:n
    for j = 1:n
        r(i, j) = j;
    end
end
% Floyd算法开始
for k = 1:n
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if d(i, k)+d(k, j)<d(i, j)
                d(i, j) = d(i, k)+d(k, j);
                r(i, j) = r(i, k);
            end
        end
    end
end
end
function DisplayPath(route, start, dest)
%% 打印出任意两点之间的最短路径
% route : 路由表
% start : 起点index
% dest : 终点index
while 1
    if route(start, dest) ~= dest
        fprintf('V%s -> ', num2str(start));
        start = route(start, dest);
    else
        fprintf('V%s -> ', num2str(start));
        fprintf('V%s\n', num2str(dest));
        break;
    end
end
end

运行结果如下：

d =

     0     2     5     4
     9     0     3     4
     6     8     0     1
     5     7    10     0


r =

     1     2     2     4
     3     2     3     3
     4     4     3     4
     1     1     1     4

--------------------------
V1 -> V1
V1 -> V2
V1 -> V2 -> V3
V1 -> V4
V2 -> V3 -> V4 -> V1
V2 -> V2
V2 -> V3
V2 -> V3 -> V4
V3 -> V4 -> V1
V3 -> V4 -> V1 -> V2
V3 -> V3
V3 -> V4
V4 -> V1
V4 -> V1 -> V2
V4 -> V1 -> V2 -> V3
V4 -> V4

三、参考文献

[1] kabuto_hui. 最短路径-Floyd算法的matlab实现.md. CSDN博客.