学习笔记——假设检验

假设

• 对总体参数的的数值所作的一种陈述
• 总体参数包括总体均值、比例、方差等
• 分析之前必需陈述

假设检验

• 事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立
• 有参数假设检验和非参数假设检验
• 采用逻辑上的反证法，依据统计上的小概率原理
• 小概率原理：指发生概率很小的随机事件在一次试验中 几乎不可能发生，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。
  

原假设和备用假设

• 什么是原假设

1. 待检验的假设，又称“0假设”
2. 研究者想收集证据予以反对的假设
3. 总是有等号 =, $\le$ 或 $\ge$
4. 表示为$H_0$
   • $H_0$：$\mu =$ 某一数值
   • 指定为 = 号，即 $\le$ 或 $\ge$
   • 例如, $H_0$：$\mu =$ 3190（克）

• 什么是备择假设

1. 与原假设对立的假设，也称“研究假设”
2. 研究者想收集证据予以支持的假设总是有不等
   号: $̸=$, < 或 >
3. 表示为 $H_1$
   • $H_1$：$\mu$ <某一数值，或$\mu$ >某一数值
   • 例如, $H_1$：$\mu$ < 3910(克)，或$\mu$ >3910(克)

决策风险

第一类错误（弃真错误）
• 原假设为真时拒绝原假设
• 会产生一系列后果
• 第一类错误的概率为$\alpha$
• 被称为显著性水平

第二类错误（取伪错误）
• 原假设为假时接受原假设
• 第二类错误的概率为$\beta$

假设检验的流程

• 提出假设
• 确定适当的检验统计量
• 规定显著性水平$\alpha$
• 计算检验统计量的值
• 作出统计决策
• 解释

什么是检验统计量

1. 用于假设检验决策的统计量
2. 选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑
   • 是大样本还是小样本
   • 总体方差已知还是未知
3. 检验统计量的基本形式为
   $Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\delta }{\sqrt{n}}}$

什么是显著性水平

1. 是一个概率值
2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
   • 被称为抽样分布的拒绝域
   • 拒绝区域与原假设相反
3. 表示为$\alpha$(alpha)
   • 常用的 $\alpha$值有0.01, 0.05, 0.10
4. 由研究者事先确定

作出统计决策

1.计算检验的统计量
2. 根据给定的显著性水平$\alpha$，查表得出相应的临界值$z_{\alpha }$或$z_{\alpha /2}$， $t_{\alpha }$或$t_{\alpha /2}$
3. 将检验统计量的值与$\alpha$水平的临界值进行比较
4. 得出拒绝或不拒绝原假设的结论
5.

显著性水平决策

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p值决策

• 检验统计量跨过临界值等价于p值小于$\alpha$
  • Z>S($\alpha$显著水平下的临界值)
  • p<$\alpha$

1. p值是一个概率值
2. 如果原假设为真，P-值是抽样分布中大于或小于样本统计量的概率
   • 左侧检验时，P-值为曲线下方小于等于检验统计量部分的面积
   • 右侧检验时，P-值为曲线下方大于等于检验统计量部分的面积
3. 被称为观察到的(或实测的)显著性水平
   • $H_0$ 能被拒绝的最小值

双侧检验

左侧检验

右侧检验

利用 P 值进行检验

1. 单侧检验
   • 若p-值 >$\alpha$,不拒绝 $H_0$
   • 若p-值 <$\alpha$, 拒绝 $H_0$
2. 双侧检验
   • 若p-值 > $\alpha$/2, 不拒绝$H_0$
   • 若p-值 < $\alpha$/2, 拒绝 $H_0$

区别
当求显著性差异时，用双侧检验，当要求显著大于或小于时，用单侧检验。

总结
p值决策与显著性水平决策一样，等价的，只是一个用p值另一个用检验统计量。
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一个总体参数检验

总体均值的检验
总体比例的检验
总体方差的检验

总体均值检验

• 方差已知或方差未知大样本

1. 假定条件
   • 总体服从正态分布
   • 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n $\ge$ 30)
2. 使用Z-统计量

• 方差未知小样本

4. 假定条件
   • 总体为正态分布
   • 方差未知，且小样本
5. 使用t 统计量
   
   解答：
   

总体比例检验

总体方差检验

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两个正态总体参数检验

两个总体均值之差的检验
两个总体比例之差的检验
两个总体方差比的检验
检验中的匹配样本

两个总体比例之差检验

两个总体方差比检验

两个总体均值之差检验

两个方差已知

• 假设形式
  

两个方差未知，但相等：

两个方差未知，但不相等：

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配对样本t检验

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