求高精度幂

求高精度幂

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Description

对数值很大、精度很高的数进行高精度计算是一类十分常见的问题。比如，对国债进行计算就是属于这类问题。 

现在要你解决的问题是：对一个实数R( 0.0 < R < 99.999 )，要求写程序精确计算 R 的 n 次方(R ⁿ)，其中n 是整数并且 0 < n <= 25。

Input

T输入包括多组 R 和 n。 R 的值占第 1 到第 6 列，n 的值占第 8 和第 9 列。

Output

对于每组输入，要求输出一行，该行包含精确的 R 的 n 次方。输出需要去掉前导的 0 后不要的 0 。如果输出是整数，不要输出小数点。

Sample Input

95.123 12 0.4321 20 5.1234 15 6.7592 9 98.999 10 1.0100 12

Sample Output

548815620517731830194541.899025343415715973535967221869852721 .00000005148554641076956121994511276767154838481760200726351203835429763013462401 43992025569.928573701266488041146654993318703707511666295476720493953024 29448126.764121021618164430206909037173276672 90429072743629540498.107596019456651774561044010001 1.126825030131969720661201

分析：

在计算机上进行高精度计算，首先要处理好以下几个基本问题：

 1、数据的接收与存储；

 2、计算结果位数的确定；

 3、进位处理和借位处理；

 4、商和余数的求法； 

输入和存储

运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。

（1）数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；

（2）字符串：字符串的最大长度是255，可以表示255位。优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便（注意‘0’的问题）。

优化:

一个数组元素存放四位数

     注意：是加减法时可以用interger，但是当是乘法的时候，就要用int64，否则会出现越界的情况。

     还有就是：输出时对非最高位的补零处理。

另一个问题：

存储顺序

  正序？？

  逆序？？

还有就是一定不要忘了初始化！！

计算结果位数的确定

两数之和的位数最大为较大的数的位数加1。

乘积的位数最大为两个因子的位数之和。

阶乘：lgn!=lgn+lg(n-1)+lg(n-2)...................+lg3+lg2+lg1

=lnn/ln10+ln(n-1)/ln10+ln(n-2)/ln10+................+ln3/ln10+ ln2/ln10+ln1/ln10

=trunc(1/ln10*(lnn+ln(n-1)+ln(n-2)+...........+ln3+ln2+ln1)

乘方：lg(a?^b)=trunc(lg(a^b))+1

             =trunc(b*lga)+1

             =trunc(b*lna/ln10)+1

高精度的加法

ncarry=0;

      for (i=0;i<=len;i++)

      {

            k=a[i]+b[i]+ncarry;

            a[i+1]+=k/N;

            ncarry=k%N;

     }

     当最后ncarry>0时，len会变化！！

高精度的减法

  先比较大小，大的为a，用一个变量记录符号。

  ncarry=0;

  for (i=0;i<=len;i++)

  {

       if (a[i]-b[i]-ncarry>=0)

             a[i]=a[i]-b[i]-ncarry,ncarry=0;

      else

            a[i]=a[i]+N-b[i]-ncarry,ncarry=1;

  }

高精度的乘法

For (i=0;i<=lena;i++)

    for (j=0;j<=lenb;j++)

        c[i+j]+=a[i]*b[j];

For (i=0;i<=lena+lenb;i++)

     {

          c[i+j+1]+=c[i+j]/N;

          c[i+j]=c[i+j]/N;

     }

高精度的除法

A÷B精确值有两种情况：①、A能被B整除，没有余数。②、A不能被B整除，对余数进行处理。首先，我们知道，在做除法运算时，有一个不变的量和三个变化的量，不变的量是除数，三个变化的量分别是：被除数、商和余数。

可以用减法代替除法运算：不断比较A[1..n]与B[1..n]的大小，如果A[1..n]>=B[1..n]则商C[1..n]+1→C[1..n]，然后就是一个减法过程：A[1..n]-B[1..n]→A[1..n]。

由于简单的减法速度太慢，故必须进行优化。

       设置一个位置值J，当A[1..n]>B[1..n]时，B[1..n]左移→B[0..n]，j:=j+1，即令B[1..n]增大10倍。这样就减少了减法的次数。当j>0且A[1..n]

求n！

一个例子：计算5*6*7*8

方法一：顺序连乘

5*6=30，1*1=1次乘法

30*7=210，2*1=2次乘法

210*8=1680，3*1=3次乘法

方法二：非顺序连乘

5*6=30，1*1=1次乘法

7*8=56，1*1= 1次乘法

30*56=1680，2*2=4次乘法 

若“n位数*m位数=n+m位数”，则n个单精度数。

无论以何种顺序相乘，乘法次数一定为n(n-1)/2次。（n为积的位数）

证明：

设F(n)表示乘法次数，则F(1)=0，满足题设

设k

设最后一次乘法计算为“k位数*(n-k)位数”，则

F(n)=F(k)+F(n-k)+k (n-k)=n(n-1)/2（与k的选择无关）

考虑k+t个单精度数相乘

     a1*a2*…*ak *ak+1*…*ak+t

设a1*a2*…*ak结果为m位高进制数（假设已经算出）

ak+1*…*ak+t结果为1位高进制数

若顺序相乘，需要t次“m位数*1位数” ，共mt次乘法

可以先计算ak+1*…*ak+t，再一起乘，只需要m+t次乘法

        在设置了缓存的前提下，计算m个单精度数的积，如果结果为n位数，则乘法次数约为n(n–1)/2次，与m关系不大

设S=a1*a2*…*am，S是n位高进制数

可以把乘法的过程近似看做，先将这m个数分为n组，每组的积仍然是一个单精度数，最后计算后面这n个数的积。时间主要集中在求最后n个数的积上，这时基本上满足“n位数*m位数=n+m位数”，故乘法次数可近似的看做n(n-1)/2次

10!=28*34*52*7

n!分解质因数的复杂度远小于nlogn，可以忽略不计

与普通算法相比，分解质因数后，虽然因子个数m变多了，但结果的位数n没有变，只要使用了缓存，乘法次数还是约为n(n-1)/2次

因此，分解质因数不会变慢（这也可以通过实践来说明）

分解质因数之后，出现了大量求乘幂的运算，我们可以优化求乘幂的算法。这样，分解质因数的好处就体现出来

二分法求乘幂

a2n+1=a2n*a

a2n=(an)2

其中，a是单精度数

二分法求乘幂之优化平方算法

怎样优化

(a+b)2=a2+2ab+b2

例：123452=1232*10000+452+2*123*45*100

把一个n位数分为一个t位数和一个n-t位数，再求平方

怎样分

设求n位数的平方需要F(n)次乘法

F(n)=F(t)+F(n-t)+t(n-t)，F(1)=1

用数学归纳法，可证明F(n)恒等于n(n+1)/2 

所以，无论怎样分，效率都是一样

将n位数分为一个1位数和n–1位数，这样处理比较方便

优化：

计算S=ax+kbx=(ab)xak

当k

可以先计算两种算法的乘法次数，再解不等式，就可以得到结论

也可以换一个角度来分析。其实，两种算法主要差别在最后一步求积上。由于两种方法，积的位数都是一样的，所以两个因数的差越大，乘法次数就越小

∴当axbx–ak>ax+k–bx时，选用(ab)xak，反之，则采用ax+kbx。

∴axbx–ak>ax+k–bx

∴(bx–ak)(ax+1)>0

∴bx>ak

这时k

这道题：

1.处理小数点问题，以及反序。

2.进行n次乘法。

3.进行输出，并加上小数点。

代码：

#include 

#include 

#include 

using namespace std;

int main()

{

  string mlp;     //乘数

    int power;     //乘数的幂

      int r[151];    //保存结果

      int hdot;

 while(cin>>mlp>>power)

   {

            hdot=0;

              for(int t=0;t<150;t++)

                {

                    r[t]=-1;

             }

            if(mlp.find(".")!=string::npos)

        hdot=mlp.length()-mlp.find(".")-1;

         string::iterator itr=mlp.end()-1;

         while(hdot>0&&itr>=mlp.begin())

                {

                    if(*itr!='0')

                        {break;}

                     hdot--;

                      itr--;

               }

         int cn=0;

         while(itr>=mlp.begin())

               {

                    if(*itr!='.')

                        {

                            r[cn]=*itr-'0';

                              cn++;

                        }

                    itr--;

               }

         int k=cn-1;

          int m=0;     //保存临时数；

           while(k>-1)

           {

                    m=m*10+r[k];

                 k--;

         }

         for(int i=1;i 
  
              {
 
  
                    int j=0;
 
  
                     while(r[j]>-1)
 
  
                        {
 
  
                            r[j]=r[j]*m;
 
  
                         j++;
 
  
                 }
 
  
                    j=0;
 
  
                 while(r[j]>-1)
 
  
                        {
 
  
                            if(r[j+1]==-1&&r[j]>=10)
 
  
                                      r[j+1]=r[j]/10;
 
  
                              else
 
  
                                 r[j+1]+=r[j]/10;
 
  
                             r[j]=r[j];
 
  
                           j++;
 
  
                 }
 
  
            }
 
  
 
  
         hdot=hdot*power;
 
  
             int cnt=0;
 
  
 
  
                while(r[cnt]>-1)
 
  
              {
 
  
                    cnt++;
 
  
               }
 
  
            if(hdot>=cnt)
 
  
         {
 
  
                    cout<<".";
 
  
                     while(hdot>cnt)
 
  
                       {
 
  
                            cout<<"0";
 
  
                             hdot--;
 
  
                      }
 
  
                    hdot=0;
 
  
              }
 
  
            for(k=cnt-1;k>=0;k--)
 
  
         {
 
  
                    if((k+1)==hdot&&hdot!=0)
 
  
                             cout<<".";
 
  
                     cout< 
  
            }
 
  
            cout< 
  
    }
 
  
    return 0;
 
  
}